Задание 907

1. Проведём окружность \(\omega\) с центром \(A\) и радиусом \(AB = AC\). Центральный угол \(BAC = 60^\circ\), поэтому меньшая дуга \(BC\) равна \(60^\circ\) и лежит по другую сторону от хорды \(BC\), чем центр \(A\). Любая точка \(X\) окружности по ту же сторону от \(BC\), что и \(A\), лежит на большей дуге, и вписанный угол \(BXC\) опирается на дугу \(60^\circ\): \(\angle BXC = 30^\circ\).
2. Точка \(M\) внутри угла \(ABC\), значит, луч \(BM\) лежит внутри угла \(ABC\), а \(M\) — по ту же сторону от \(BC\), что и \(A\). Угол между лучом \(BM\) и радиусом \(BA\) меньше \(60^\circ\), то есть острый, поэтому луч \(BM\) вторично пересекает \(\omega\) в некоторой точке \(M'\), и \(M'\) тоже лежит по ту же сторону от \(BC\), что и \(A\). По п. 1 \(\angle BM'C = 30^\circ\).
3. Докажем, что \(M = M'\). Пусть \(M\) лежит между \(B\) и \(M'\). Тогда \(\angle BMC\) — внешний угол треугольника \(MM'C\), и \(\angle BMC = \angle MM'C + \angle MCM' > 30^\circ\) — противоречие. Пусть \(M'\) лежит между \(B\) и \(M\). Тогда внешний угол \(BM'C\) треугольника \(M'MC\) равен \(\angle M'MC + \angle M'CM > \angle BMC = 30^\circ\) — тоже противоречие. Значит, \(M = M'\) и \(AM = AB\).
4. Треугольник \(ABM\) равнобедренный (\(AM = AB\)), поэтому \(\angle ABM = \angle AMB = 17^\circ\) и \(\angle BAM = 180^\circ - 2 \cdot 17^\circ = 146^\circ\).
5. Луч \(BM\) внутри угла \(ABC\), поэтому \(\angle MBC = 60^\circ - 17^\circ = 43^\circ\). В треугольнике \(BMC\): \(\angle BCM = 180^\circ - 30^\circ - 43^\circ = 107^\circ\).

Ответ: \(\angle BAM = 146^\circ\), \(\angle BCM = 107^\circ\).