Задание 908

Дано: \(\triangle ABC\); \(b\), \(c\), \(a\) — прямые через \(B\), \(C\), \(A\), перпендикулярные биссектрисам углов \(B\), \(C\), \(A\). Доказать: точка пересечения прямых \(b\) и \(c\) лежит на биссектрисе угла \(A\) (для остальных вершин — так же).

1. Биссектриса угла \(B\) и биссектриса смежного с ним внешнего угла перпендикулярны: половины смежных углов в сумме дают \(90^\circ\). Поэтому прямая \(b\) — биссектриса внешнего угла \(CBX\) (\(X\) — на продолжении \(AB\) за точку \(B\)). Так же \(c\) — биссектриса внешнего угла \(BCY\) (\(Y\) — на продолжении \(AC\) за \(C\)).
2. Прямые \(b\) и \(c\) пересекаются, причём по другую сторону от \(BC\), чем \(A\). Действительно, по ту сторону от \(BC\), где лежит \(A\), они образуют с \(BC\) углы \(90^\circ + \dfrac{\angle B}{2}\) и \(90^\circ + \dfrac{\angle C}{2}\), сумма которых больше \(180^\circ\), а с другой стороны — углы \(90^\circ - \dfrac{\angle B}{2}\) и \(90^\circ - \dfrac{\angle C}{2}\), сумма которых меньше \(180^\circ\). Значит, прямые не параллельны и пересекаются в точке \(A'\) на лучах-биссектрисах внешних углов \(CBX\) и \(BCY\).
3. Точка \(A'\) лежит внутри угла \(CBX\), то есть по ту же сторону от прямой \(AB\), что и \(C\); и внутри угла \(BCY\), то есть по ту же сторону от \(AC\), что и \(B\). Значит, \(A'\) лежит внутри угла \(BAC\).
4. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Точка \(A'\) на биссектрисе угла \(CBX\), поэтому она равноудалена от прямых \(BC\) и \(AB\); на биссектрисе угла \(BCY\) — равноудалена от \(BC\) и \(AC\). Следовательно, \(A'\) равноудалена от сторон угла \(BAC\).
5. Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на его биссектрисе. Значит, \(A'\) лежит на биссектрисе угла \(A\).

Так же вершина, образованная прямыми \(a\) и \(c\), лежит на биссектрисе угла \(B\), а прямыми \(a\) и \(b\) — на биссектрисе угла \(C\).