Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 909

Условие (кратко)

H — точка пересечения прямых, содержащих высоты △ABC; A₁, B₁, C₁ симметричны H относительно прямых BC, CA, AB, а A₂, B₂, C₂ — относительно середин BC, CA, AB. Доказать, что эти шесть точек лежат на описанной окружности.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты; $$A_1$$ симметрична $$H$$ относительно прямой $$BC$$ , $$A_2$$ — относительно середины $$M$$ стороны $$BC$$ (аналогично для других вершин). Доказать: $$A_1$$ , $$A_2$$ (и остальные точки) лежат на окружности, описанной около $\triangle ABC$ .

Точка $$A_2$$ .

Диагонали четырёхугольника $$BHCA_2$$ делятся точкой $$M$$ пополам, поэтому это параллелограмм: $BA_2 \parallel CH$ и $CA_2 \parallel BH$ .
$CH \perp AB$ (прямая $$CH$$ содержит высоту), значит, $BA_2 \perp AB$ , то есть $\angle ABA_2 = 90^\circ$ . Так же $BH \perp AC$ , значит, $\angle ACA_2 = 90^\circ$ .
Точки $$B$$ и $$C$$ видят отрезок $$AA_2$$ под прямым углом, поэтому лежат на окружности с диаметром $$AA_2$$ (медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы). Эта окружность проходит через $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , то есть совпадает с описанной. Значит, $$A_2$$ лежит на описанной окружности, и $$AA_2$$ — её диаметр. (Если $\angle B = 90^\circ$ , то $$H = B$$ и $$A_2 = C$$ ; если $\angle C = 90^\circ$ , то $$A_2 = B$$ — точка тоже на окружности.)

Точка $$A_1$$ . 4. Пусть $$D$$ — основание перпендикуляра из $$H$$ на $$BC$$ ; $$D$$ — середина $$HA_1$$ , и $$A_1$$ лежит по другую сторону от $$BC$$ , чем $$H$$ , на расстоянии $$HD$$ от прямой $$BC$$ . 5. При симметрии относительно точки $$M$$ прямая $$BC$$ переходит в себя, $$H$$ — в $$A_2$$ , а $$D$$ — в точку $$D'$$ , симметричную $$D$$ относительно $$M$$ ; при этом $A_2D' \perp BC$ и $$A_2D' = HD$$ , и $$A_2$$ тоже лежит по другую сторону от $$BC$$ , чем $$H$$ . 6. Значит, $$A_1$$ и $$A_2$$ лежат по одну сторону от $$BC$$ на одинаковом расстоянии от неё, а их проекции $$D$$ и $$D'$$ симметричны относительно $$M$$ . Поэтому $$A_1$$ и $$A_2$$ симметричны относительно прямой $$m$$ — серединного перпендикуляра к $$BC$$ . 7. Центр $$O$$ описанной окружности лежит на $$m$$ , поэтому $$OA_1 = OA_2 = R$$ . Значит, $$A_1$$ тоже лежит на описанной окружности.

Для точек $$B_1$$ , $$B_2$$ , $$C_1$$ , $$C_2$$ рассуждение то же. Все шесть точек лежат на описанной окружности.

Ответ

Утверждение доказано: A₂ — конец диаметра AA₂, а A₁ симметрична A₂ относительно серединного перпендикуляра к BC; так же для остальных точек.

Почему так

Четырёхугольник BHCA₂ — параллелограмм, откуда ∠ABA₂ = ∠ACA₂ = 90°, а A₁ — образ A₂ при симметрии относительно прямой, проходящей через центр.

Подробнее — в теме «Описанная окружность».

Задание 909

Задача 1