Задача 1
Условие (кратко)
Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Доказать, что BD² = AB·BC − AD·DC.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(BD\) — биссектриса, \(D \in AC\). Доказать: \(BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC\).
- Опишем около треугольника окружность; луч \(BD\) вторично пересекает её в точке \(E\). Так как \(\angle ABE = \angle EBC\), точка \(E\) — середина дуги \(AC\), не содержащей \(B\); на окружности точки идут в порядке \(B\), \(A\), \(E\), \(C\).
- Треугольники \(ABE\) и \(DBC\): \(\angle ABE = \angle DBC\) (биссектриса), \(\angle AEB = \angle ACB\) — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу \(AB\). Значит, \(\triangle ABE \sim \triangle DBC\) по двум углам, и \(\dfrac{AB}{DB} = \dfrac{BE}{BC}\), то есть \(AB \cdot BC = BD \cdot BE\).
- \(BE = BD + DE\), поэтому \(AB \cdot BC = BD^2 + BD \cdot DE\).
- Треугольники \(ABD\) и \(ECD\): \(\angle ADB = \angle EDC\) (вертикальные), \(\angle BAD = \angle BEC\) — вписанные углы, опирающиеся на дугу \(BC\). Значит, \(\triangle ABD \sim \triangle ECD\), и \(\dfrac{AD}{ED} = \dfrac{BD}{CD}\), то есть \(BD \cdot DE = AD \cdot DC\).
- Подставим в п. 3: \(AB \cdot BC = BD^2 + AD \cdot DC\), откуда \(BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC\).
Проверка на числах: в равностороннем треугольнике со стороной 2 биссектриса \(BD = \sqrt{3}\), и \(2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3 = BD^2\).
Ответ
Утверждение доказано: BD² = AB·BC − AD·DC.
Почему так
Продолжение биссектрисы до описанной окружности даёт две пары подобных треугольников (по вписанным углам), из них AB·BC = BD·BE и BD·DE = AD·DC.
Подробнее — в теме «Вписанный угол».