Задача 1
Условие (кратко)
Из вершины B треугольника ABC проведены высота BH и биссектриса угла B, пересекающая в точке E описанную окружность с центром O. Доказать, что луч BE — биссектриса угла OBH.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(BH \perp AC\), \(BE\) — биссектриса угла \(B\), \(E\) — вторая точка её пересечения с описанной окружностью, \(O\) — центр окружности. Доказать: \(\angle OBE = \angle EBH\).
- Вписанные углы \(ABE\) и \(EBC\) равны, поэтому равны дуги \(AE\) и \(EC\), на которые они опираются, а значит, и хорды: \(AE = EC\).
- Точка \(E\) равноудалена от \(A\) и \(C\), точка \(O\) — тоже (\(OA = OC = R\)). Значит, прямая \(OE\) — серединный перпендикуляр к \(AC\): \(OE \perp AC\).
- \(BH \perp AC\), поэтому \(OE \parallel BH\).
- Треугольник \(OBE\) равнобедренный (\(OB = OE = R\)), значит, \(\angle OBE = \angle OEB\).
- \(E\) лежит по другую сторону от \(AC\), чем \(B\), а луч \(EO\) направлен от \(E\) к прямой \(AC\) (к той её стороне, где лежит \(B\)), тогда как луч \(BH\) — от \(B\) к \(AC\). Поэтому углы \(OEB\) и \(HBE\) — накрест лежащие при параллельных прямых \(OE\) и \(BH\) и секущей \(BE\), и \(\angle OEB = \angle EBH\).
- Из пп. 4 и 5: \(\angle OBE = \angle EBH\), то есть луч \(BE\) — биссектриса угла \(OBH\). (Если \(AB = BC\), точки \(O\) и \(H\) лежат на прямой \(BE\), и угол \(OBH\) вырожденный — утверждение тривиально.)
Ответ
Утверждение доказано: OE ∥ BH, поэтому ∠EBH = ∠OEB = ∠OBE.
Почему так
Биссектриса угла B проходит через середину дуги AC, поэтому OE ⊥ AC и OE ∥ BH, а треугольник OBE равнобедренный.
Подробнее — в теме «Описанная окружность».