Задание 912

Дано: \(\triangle ABC\) равносторонний, \(X\) — точка его описанной окружности. Доказать: один из отрезков \(XA\), \(XB\), \(XC\) равен сумме двух других.

1. Вершины делят окружность на три дуги по \(120^\circ\). Если \(X\) совпадает с вершиной, например \(X = A\), то \(XA = 0\) и \(XB = XC\) — утверждение верно. Иначе \(X\) лежит на одной из дуг; пусть на дуге \(AB\), не содержащей \(C\) (для других дуг — переименование). Докажем, что \(XC = XA + XB\).
2. \(\angle AXC = \angle ABC = 60^\circ\) — вписанные углы, опирающиеся на дугу \(AC\). В треугольнике \(AXC\) угол \(XAC = \angle XAB + 60^\circ \ge 60^\circ\), а \(\angle XCA = 120^\circ - \angle XAC \le 60^\circ\). Против большего угла лежит большая сторона, поэтому \(XA \le XC\).
3. Отложим на отрезке \(XC\) точку \(D\) так, что \(XD = XA\). Треугольник \(AXD\) равнобедренный с углом \(60^\circ\) при вершине, значит, равносторонний: \(AD = AX\), \(\angle XAD = 60^\circ\).
4. Угол \(XAB\) — вписанный, опирается на дугу \(XB\), которая меньше \(120^\circ\), поэтому \(\angle XAB < 60^\circ = \angle XAD\): луч \(AB\) проходит внутри угла \(XAD\), и \(\angle XAB = 60^\circ - \angle BAD\). Точка \(D\) лежит на хорде \(XC\), а \(X\) и \(C\) — по одну сторону от \(AC\) с точкой \(B\) или на \(AC\), поэтому луч \(AD\) проходит внутри угла \(BAC\) и \(\angle DAC = 60^\circ - \angle BAD\). Итак, \(\angle XAB = \angle DAC\).
5. Треугольники \(AXB\) и \(ADC\): \(AX = AD\), \(AB = AC\), \(\angle XAB = \angle DAC\). Они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \(XB = DC\).
6. \(XC = XD + DC = XA + XB\).

Итак, отрезок, проведённый к вершине, противолежащей дуге с точкой \(X\), равен сумме двух других.