Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
Решение
Дано: четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\), \(AC \perp BD\), \(P\) — точка пересечения диагоналей. Доказать: \(AB^2 + CD^2 = (2R)^2\) (и так же \(BC^2 + AD^2 = (2R)^2\)).
- Вписанный четырёхугольник выпуклый, поэтому \(P\) лежит на обеих диагоналях. По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках \(APB\) и \(CPD\): \(AB^2 + CD^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2\). Ту же сумму дают \(BC^2 + AD^2\).
- Пусть \(M\) и \(N\) — середины \(AC\) и \(BD\), \(AM = MC = a\), \(BN = ND = b\), \(PM = m\), \(PN = n\). Точка \(P\) лежит на отрезке \(AC\), поэтому один из отрезков \(PA\), \(PC\) равен \(a + m\), другой \(a - m\), и \(PA^2 + PC^2 = (a+m)^2 + (a-m)^2 = 2a^2 + 2m^2\). Так же \(PB^2 + PD^2 = 2b^2 + 2n^2\).
- \(OM \perp AC\) и \(ON \perp BD\) (перпендикуляр из центра к хорде проходит через её середину). Так как \(AC \perp BD\), имеем \(OM \parallel BD\), поэтому \(O\) и \(M\) одинаково удалены от прямой \(BD\). Расстояние от \(O\) до \(BD\) равно \(ON\), а от \(M\) до \(BD\) равно \(MP\) (проекция \(M\) на \(BD\) — точка \(P\)). Значит, \(ON = m\). Так же \(OM = n\).
- По теореме Пифагора в треугольниках \(OMA\) и \(ONB\): \(a^2 + n^2 = R^2\), \(b^2 + m^2 = R^2\).
- Складываем: \(PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2 = 2a^2 + 2m^2 + 2b^2 + 2n^2 = 2(a^2 + n^2) + 2(b^2 + m^2) = 4R^2\).
Значит, \(AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = 4R^2 = (2R)^2\) — квадрат диаметра.
Ответ
Утверждение доказано: AB² + CD² = BC² + AD² = (2R)².
Почему так
Сумма квадратов противоположных сторон равна сумме квадратов четырёх отрезков диагоналей, а она через середины хорд и теорему Пифагора выражается как 4R².
Подробнее — в теме «Описанная окружность».