Задание 914

Дано: \(ABCD\) вписан в окружность, биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(K\) на стороне \(CD\). Доказать: \(CD = BC + AD\).

1. Обозначим \(\angle A = 2\alpha\), \(\angle B = 2\beta\). Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов \(180^\circ\): \(\angle C = 180^\circ - 2\alpha\), \(\angle D = 180^\circ - 2\beta\).
2. Из треугольников \(ADK\) и \(BCK\): \(\angle AKD = 180^\circ - \alpha - (180^\circ - 2\beta) = 2\beta - \alpha > 0\) и \(\angle BKC = 2\alpha - \beta > 0\).
3. Если \(\alpha = \beta\), то \(\angle AKD = \alpha = \angle DAK\), треугольник \(ADK\) равнобедренный и \(DK = DA\); так же \(CK = CB\), и \(CD = DK + KC = AD + BC\).
4. Пусть \(\alpha \ne \beta\); условие симметрично относительно замены \(A \leftrightarrow B\), \(D \leftrightarrow C\), поэтому можно считать \(\alpha > \beta\). Проведём луч \(AL\) внутри угла \(DAK\) так, что \(\angle DAL = \beta\) (\(L\) на отрезке \(DK\), \(L \ne K\)). В треугольнике \(ADL\): \(\angle DLA = 180^\circ - (180^\circ - 2\beta) - \beta = \beta = \angle DAL\), значит, \(DL = DA\).
5. Четырёхугольник \(ABKL\) выпуклый, \(\angle ALK = 180^\circ - \angle ALD = 180^\circ - \beta\), а \(\angle ABK = \beta\). Сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), поэтому около \(ABKL\) можно описать окружность.
6. В этой окружности \(\angle KLB = \angle KAB = \alpha\) — вписанные углы, опирающиеся на дугу \(KB\) (\(L\) и \(A\) по одну сторону от \(BK\)).
7. В треугольнике \(BLC\): \(\angle BLC = \alpha\), \(\angle LCB = 180^\circ - 2\alpha\), значит, \(\angle LBC = \alpha = \angle BLC\), и \(CL = CB\).
8. \(CD = DL + LC = AD + BC\).