Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.
Решение
Дано: \(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AB \perp AD\), в неё вписана окружность радиуса \(r\); \(AD = a\), \(BC = b\), \(a > b\). Доказать: \(S_{ABCD} = ab\).
- Высота трапеции \(AB\) равна диаметру вписанной окружности (окружность касается обоих оснований): \(AB = 2r\).
- В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: \(AB + CD = AD + BC\), поэтому \(CD = a + b - 2r\).
- Проведём высоту \(CH\) (\(H\) на \(AD\)): \(CH = 2r\), \(HD = a - b\). По теореме Пифагора \(CD^2 = (2r)^2 + (a - b)^2\).
- Подставим \(CD\): \((a + b - 2r)^2 = 4r^2 + (a - b)^2\). Раскроем скобки: \((a+b)^2 - 4r(a+b) + 4r^2 = 4r^2 + (a-b)^2\), откуда \(4ab = 4r(a + b)\), то есть \(r(a + b) = ab\).
- Площадь трапеции: \(S = \dfrac{a + b}{2} \cdot 2r = r(a + b) = ab\).
Проверка: при \(a = 6\), \(b = 3\) получаем \(r = \dfrac{18}{9} = 2\), \(CD = 9 - 4 = 5\), и \(4^2 + 3^2 = 5^2\); площадь \(\dfrac{9}{2} \cdot 4 = 18 = 6 \cdot 3\).
Ответ
Утверждение доказано: r(a + b) = ab, поэтому S = (a + b)/2 · 2r = ab.
Почему так
Равенство сумм противоположных сторон описанного четырёхугольника и теорема Пифагора для боковой стороны дают r(a + b) = ab.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».