Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что в любом вписанном в окружность четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Решение
Дано: четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Доказать: \(AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\).
- Четырёхугольник выпуклый, поэтому луч \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\) и \(\angle DBC < \angle ABC\). Проведём внутри угла \(ABC\) луч, образующий со стороной \(BA\) угол, равный \(\angle DBC\); он пересекает диагональ \(AC\) в точке \(K\). Итак, \(\angle ABK = \angle DBC\).
- Треугольники \(ABK\) и \(DBC\): \(\angle ABK = \angle DBC\), \(\angle BAK = \angle BAC = \angle BDC\) — вписанные углы, опирающиеся на дугу \(BC\). Значит, \(\triangle ABK \sim \triangle DBC\) и \(\dfrac{AK}{DC} = \dfrac{AB}{DB}\), то есть \(AK \cdot BD = AB \cdot CD\).
- \(\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = \angle ABC - \angle DBC = \angle ABD\).
- Треугольники \(KBC\) и \(ABD\): \(\angle KBC = \angle ABD\), \(\angle BCK = \angle BCA = \angle BDA\) — вписанные углы, опирающиеся на дугу \(AB\). Значит, \(\triangle KBC \sim \triangle ABD\) и \(\dfrac{KC}{AD} = \dfrac{BC}{BD}\), то есть \(KC \cdot BD = BC \cdot AD\).
- Сложим: \((AK + KC) \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\). Так как \(K\) лежит на \(AC\), \(AK + KC = AC\), и \(AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\).
Проверка на прямоугольнике \(3 \times 4\): диагонали по 5, \(5 \cdot 5 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4\).
Ответ
Утверждение доказано: AC·BD = AB·CD + BC·AD.
Почему так
Точка K на диагонали AC с ∠ABK = ∠DBC даёт две пары подобных треугольников (по вписанным углам), и сумма двух пропорций даёт теорему Птолемея.
Подробнее — в теме «Описанная окружность».