Задание 917

Дано: \(\triangle ABC\), \(O\) и \(R\) — центр и радиус описанной окружности, \(I\) и \(r\) — центр и радиус вписанной, \(OI = d\). Доказать: \(d^2 = R^2 - 2Rr\).

1. Проведём через \(I\) диаметр \(PQ\) описанной окружности (если \(I = O\) — любой диаметр). Точка \(I\) лежит внутри окружности между \(P\) и \(Q\), \(PI = R + d\), \(IQ = R - d\), поэтому \(PI \cdot IQ = R^2 - d^2\). Осталось доказать, что \(PI \cdot IQ = 2Rr\).
2. Луч \(AI\) — биссектриса угла \(A\); он вторично пересекает описанную окружность в точке \(W\). Хорды \(PQ\) и \(AW\) пересекаются в \(I\). Треугольники \(AIP\) и \(QIW\): \(\angle AIP = \angle QIW\) (вертикальные), \(\angle PAW = \angle PQW\) (вписанные, опираются на дугу \(PW\)). Они подобны, \(\dfrac{AI}{QI} = \dfrac{PI}{WI}\), значит, \(PI \cdot IQ = AI \cdot IW\).
3. Докажем, что \(IW = WB\). Обозначим \(\angle A = 2\alpha\), \(\angle B = 2\beta\). \(\angle WBI = \angle WBC + \angle CBI = \angle WAC + \beta = \alpha + \beta\) (\(\angle WBC = \angle WAC\) — вписанные, опираются на дугу \(WC\)). Угол \(WIB\) — внешний угол треугольника \(ABI\): \(\angle WIB = \alpha + \beta\). Треугольник \(WBI\) равнобедренный: \(IW = WB\).
4. Проведём диаметр \(WW'\). \(\angle WBW' = 90^\circ\) (опирается на полуокружность), \(\angle BW'W = \angle BAW = \alpha\) (вписанные, опираются на дугу \(BW\)). Пусть \(F\) — точка касания вписанной окружности со стороной \(AB\): \(IF = r\), \(IF \perp AB\), \(\angle IAF = \alpha\).
5. Прямоугольные треугольники \(AFI\) и \(W'BW\) подобны (острые углы \(\alpha\)), поэтому \(\dfrac{IF}{AI} = \dfrac{WB}{WW'}\), то есть \(AI \cdot WB = IF \cdot WW' = r \cdot 2R\).
6. Итак, \(R^2 - d^2 = PI \cdot IQ = AI \cdot IW = AI \cdot WB = 2Rr\), откуда \(d^2 = R^2 - 2Rr\).

Проверка: в равностороннем треугольнике \(R = 2r\) и \(d = 0\), и действительно \(R^2 - 2Rr = 4r^2 - 4r^2 = 0\). Следствие: \(R \ge 2r\).