Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 918

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) В неравностороннем △ABC: H — пересечение прямых высот AA₁, BB₁, CC₁; A₂, B₂, C₂ — середины AH, BH, CH; A₃, B₃, C₃ — середины сторон. Доказать, что эти девять точек на одной окружности.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$O$$ — центр описанной окружности радиуса $$R$$ , $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ ; $$A_2$$ , $$B_2$$ , $$C_2$$ — середины $$AH$$ , $$BH$$ , $$CH$$ ; $$A_3$$ , $$B_3$$ , $$C_3$$ — середины $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ . Доказать: девять точек лежат на окружности с центром в середине $$N$$ отрезка $$OH$$ и радиусом $\dfrac{R}{2}$ .

Пусть $$A'$$ — точка, симметричная $$H$$ относительно $$A_3$$ . Как в задаче 909, $$BHCA'$$ — параллелограмм, $\angle ABA' = \angle ACA' = 90^\circ$ , поэтому $$AA'$$ — диаметр описанной окружности и $$O$$ — его середина.
В треугольнике $$AHA'$$ отрезок $$OA_3$$ соединяет середины сторон $$AA'$$ и $$HA'$$ — это средняя линия: $OA_3 \parallel AH$ и $OA_3 = \dfrac{AH}{2}$ , причём отрезок $$OA_3$$ направлен так же, как $$AH$$ (от $$A$$ к $$H$$ ).
$A_2H = AA_2 = \dfrac{AH}{2} = OA_3$ . Отрезки $$A_2H$$ и $$OA_3$$ равны, параллельны и одинаково направлены, поэтому $$A_2HA_3O$$ — параллелограмм (возможно, вырожденный, если все точки на одной прямой). Его диагонали $$A_2A_3$$ и $$OH$$ делятся точкой пересечения пополам, значит, $$N$$ — середина $$A_2A_3$$ .
Так же $$AA_2$$ и $$OA_3$$ равны, параллельны и одинаково направлены, поэтому $$AA_2A_3O$$ — параллелограмм и $$A_2A_3 = AO = R$$ . Итак, $NA_2 = NA_3 = \dfrac{R}{2}$ .
Точка $$A_1$$ лежит на прямой $$AH$$ и на $$BC$$ , а $A_2A_1 \perp BC$ , то есть $\angle A_2A_1A_3 = 90^\circ$ (если $$A_1$$ не совпадает с $$A_2$$ или $$A_3$$ ). Медиана $$A_1N$$ прямоугольного треугольника $$A_2A_1A_3$$ равна половине гипотенузы: $NA_1 = \dfrac{A_2A_3}{2} = \dfrac{R}{2}$ . Если же $$A_1$$ совпадает с $$A_2$$ или $$A_3$$ , то $NA_1 = \dfrac{R}{2}$ по п. 4.
Точка $$N$$ (середина $$OH$$ ) не зависит от выбора вершины, поэтому для вершин $$B$$ и $$C$$ так же получаем $NB_1 = NB_2 = NB_3 = NC_1 = NC_2 = NC_3 = \dfrac{R}{2}$ .

Все девять точек удалены от $$N$$ на $\dfrac{R}{2}$ — они лежат на одной окружности (окружность Эйлера). В неравностороннем треугольнике $O \ne H$ ; в равностороннем часть точек совпадает и центр $$N = O$$ .

Ответ

Утверждение доказано: все девять точек удалены на R/2 от середины отрезка OH.

Почему так

Отрезок A₂A₃ равен R и делится пополам серединой OH, а основание высоты видит A₂A₃ под прямым углом — так для каждой вершины.

Подробнее — в теме «Описанная окружность».

Задание 918

Задача 1