Задание 919

Дано: \(\triangle ABC\), \(D\) — точка описанной окружности, \(H\), \(K\), \(M\) — основания перпендикуляров из \(D\) к прямым \(AB\), \(AC\), \(BC\). Доказать: \(H\), \(K\), \(M\) лежат на одной прямой.

Если \(D\) совпадает с вершиной, например \(D = A\), то \(H = K = A\) — утверждение очевидно. Пусть \(D\) — не вершина; переименовав вершины, считаем, что \(D\) лежит на дуге \(AC\), не содержащей \(B\). Тогда \(ABCD\) — вписанный четырёхугольник. Разберём основной случай расположения, когда \(K\) лежит на отрезке \(AC\), а точки \(H\) и \(M\) — по разные стороны от прямой \(AC\) (луч \(DK\) проходит внутри угла \(HDM\)).

1. В четырёхугольнике \(BHDM\) углы при \(H\) и \(M\) прямые, поэтому \(\angle HDM = 180^\circ - \angle B\). Во вписанном четырёхугольнике \(ABCD\) также \(\angle ADC = 180^\circ - \angle B\). Значит, \(\angle HDM = \angle ADC\), и, отняв (или прибавив) общий угол \(ADM\), получаем \(\angle ADH = \angle MDC\).
2. \(\angle AHD = \angle AKD = 90^\circ\), поэтому \(H\) и \(K\) лежат на окружности с диаметром \(AD\). Вписанные в неё углы \(AKH\) и \(ADH\) опираются на одну дугу \(AH\): \(\angle AKH = \angle ADH\).
3. \(\angle DKC = \angle DMC = 90^\circ\), поэтому \(K\) и \(M\) лежат на окружности с диаметром \(DC\), и \(\angle MKC = \angle MDC\).
4. Из пп. 1–3: \(\angle AKH = \angle MKC\). Точки \(A\) и \(C\) лежат на прямой \(AC\) по разные стороны от \(K\), а \(H\) и \(M\) — по разные стороны от \(AC\). Равные углы \(AKH\) и \(CKM\) с такими сторонами — вертикальные, значит, лучи \(KH\) и \(KM\) дополняют друг друга до прямой.

Точки \(H\), \(K\), \(M\) лежат на одной прямой. При других расположениях точек (основание \(K\) вне отрезка \(AC\) и т. п.) рассуждение то же: равенства пп. 1–3 сохраняются, только некоторые углы заменяются смежными.