Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 920

Условие (кратко)

Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Решение

Дано: окружности $\omega_1$ с центром $$O_1$$ и радиусом $$r_1$$ и $\omega_2$ с центром $$O_2$$ и радиусом $$r_2$$ , $r_1 \ge r_2$ , $$O_1O_2 = d$$ . Построить: прямую, касающуюся обеих окружностей.

Внешняя касательная (окружности по одну сторону от неё), $$r_1 > r_2$$ .

Строим вспомогательную окружность с центром $$O_1$$ и радиусом $$r_1 - r_2$$ .
Проводим из $$O_2$$ касательную к ней (задача 761: окружность на $$O_1O_2$$ как на диаметре пересекает вспомогательную окружность в точке касания $$K$$ ).
Луч $$O_1K$$ пересекает $\omega_1$ в точке $$A$$ ; $$AK = r_1 - (r_1 - r_2) = r_2$$ .
Через $$A$$ проводим прямую $p \perp O_1A$ . Почему верно: $$p$$ перпендикулярна радиусу $$O_1A$$ в его конце — касательная к $\omega_1$ . Прямые $$O_2K$$ и $$p$$ обе перпендикулярны $$O_1A$$ , значит, параллельны, и расстояние от $$O_2$$ до $$p$$ равно расстоянию от $$K$$ до $$p$$ , то есть $$KA = r_2$$ . Поэтому $$p$$ касается и $\omega_2$ . При $$r_1 = r_2$$ внешние касательные параллельны $$O_1O_2$$ : через $$O_1$$ проводим прямую, перпендикулярную $$O_1O_2$$ , отмечаем на ней точки на расстоянии $$r_1$$ от $$O_1$$ и проводим через них прямые, параллельные $$O_1O_2$$ .

Внутренняя касательная (окружности по разные стороны). 5. Строим окружность с центром $$O_1$$ и радиусом $$r_1 + r_2$$ и касательную к ней из $$O_2$$ , точка касания $$K$$ . 6. Отрезок $$O_1K$$ пересекает $\omega_1$ в точке $$A$$ , $$AK = r_2$$ ; через $$A$$ проводим $p \perp O_1K$ . Как и выше, $$p$$ касается $\omega_1$ , а расстояние от $$O_2$$ до $$p$$ равно $$AK = r_2$$ .

Исследование. Касательную из точки к окружности можно провести, только если точка не внутри окружности: из внешней точки — две, из точки окружности — одна. • $$d > r_1 + r_2$$ (окружности вне друг друга): 2 внешние и 2 внутренние — 4 решения. • $$d = r_1 + r_2$$ (внешнее касание): 2 внешние и 1 внутренняя (общая касательная в точке касания) — 3 решения. • $$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$$ (пересекаются): только 2 внешние — 2 решения. • $$d = r_1 - r_2 > 0$$ (внутреннее касание): 1 решение — касательная в точке касания. • $$d < r_1 - r_2$$ (одна внутри другой, в том числе концентрические): решений нет. Совпадающие окружности имеют бесконечно много общих касательных.

Ответ

Общая касательная строится через касательную из O₂ к окружности радиуса r₁ − r₂ (внешняя) или r₁ + r₂ (внутренняя); решений от 0 до 4 в зависимости от d, r₁, r₂.

Почему так

Задача сводится к касательной из точки к вспомогательной окружности с радиусом, равным разности или сумме радиусов, со сдвигом на r₂.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Задание 920

Задача 1