Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 921

Условие (кратко)

Даны окружность с центром O, точка M и отрезки P₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте прямую p, на которой окружность отсекает хорду, равную P₁Q₁, а расстояние от M до p равно P₂Q₂.

Решение

Дано: окружность $\omega$ с центром $$O$$ и радиусом $$R$$ , точка $$M$$ , отрезки $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$ . Построить: прямую $$p$$ , на которой $\omega$ отсекает хорду, равную $$P_1Q_1$$ , и расстояние от $$M$$ до $$p$$ равно $$P_2Q_2$$ .

Анализ. Если хорда прямой равна $$P_1Q_1$$ , то её половина по теореме Пифагора равна $\sqrt{R^2 - \rho^2}$ , где $\rho$ — расстояние от $$O$$ до прямой. Значит, все прямые с хордой $$P_1Q_1$$ удалены от $$O$$ на одно и то же расстояние $\rho$ , то есть касаются окружности $\omega_1$ с центром $$O$$ и радиусом $\rho$ (или проходят через $$O$$ , если $\rho = 0$ ). Условие на точку $$M$$ означает, что $$p$$ касается окружности $\omega_2$ с центром $$M$$ и радиусом $$P_2Q_2$$ . Итак, $$p$$ — общая касательная к $\omega_1$ и $\omega_2$ .

Построение.

Из произвольной точки $$E$$ окружности $\omega$ проводим дугу радиусом $$P_1Q_1$$ ; она пересекает $\omega$ в точке $$F$$ . Хорда $$EF = P_1Q_1$$ .
Строим середину $$A$$ хорды $$EF$$ (серединный перпендикуляр). $\rho = OA$ .
Строим окружности $\omega_1$ (центр $$O$$ , радиус $$OA$$ ) и $\omega_2$ (центр $$M$$ , радиус $$P_2Q_2$$ ).
Строим их общие касательные (задача 920). Каждая из них — искомая прямая $$p$$ .

Доказательство. Прямая $$p$$ касается $\omega_1$ , поэтому удалена от $$O$$ на $\rho = OA$ ; хорда, которую $\omega$ на ней отсекает, равна $2\sqrt{R^2 - OA^2} = EF = P_1Q_1$ . Прямая $$p$$ касается $\omega_2$ , поэтому удалена от $$M$$ на $$P_2Q_2$$ .

Исследование. • Если $$P_1Q_1 > 2R$$ , хорды такой длины нет — решений нет. • Если $$P_1Q_1 = 2R$$ , то $\rho = 0$ , $$p$$ проходит через $$O$$ и касается $\omega_2$ : при $$OM > P_2Q_2$$ — 2 решения, при $$OM = P_2Q_2$$ — 1, при $$OM < P_2Q_2$$ — нет. • Если $$P_1Q_1 < 2R$$ , решений столько, сколько общих касательных у $\omega_1$ и $\omega_2$ : от 0 до 4 (см. задачу 920); если $$M = O$$ и $P_2Q_2 = \rho$ , окружности совпадают и решений бесконечно много.

Ответ

Искомая прямая — общая касательная к окружности с центром O радиуса OA (A — середина хорды длиной P₁Q₁) и окружности с центром M радиуса P₂Q₂; решений от 0 до 4.

Почему так

Равные хорды равноудалены от центра, поэтому обе условия означают касание двух окружностей, и задача сводится к общей касательной.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Задание 921

Задача 1