Задача 1
Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, наименьшую из всех хорд, проходящих через неё.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\), точка \(P\) внутри неё. Построить: наименьшую хорду, проходящую через \(P\).
Анализ. Пусть хорда \(XY\) проходит через \(P\), \(H\) — основание перпендикуляра из \(O\) на \(XY\), \(OH = h\). Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, и по теореме Пифагора \(XY = 2\sqrt{R^2 - h^2}\). Хорда тем короче, чем больше \(h\). Но \(OH \le OP\) (перпендикуляр не длиннее наклонной), причём \(OH = OP\) только при \(H = P\), то есть когда \(XY \perp OP\). Значит, наименьшая хорда — перпендикулярная \(OP\).
Построение.
- Проводим прямую \(OP\).
- Через \(P\) проводим прямую, перпендикулярную \(OP\); она пересекает окружность в точках \(X\) и \(Y\).
- \(XY\) — искомая хорда.
Доказательство: для неё \(h = OP\) — наибольшее возможное, поэтому \(XY = 2\sqrt{R^2 - OP^2}\) меньше любой другой хорды через \(P\).
Исследование. Если \(P \ne O\), решение единственно. Если \(P = O\), все хорды через \(P\) — диаметры, они равны, и годится любая.
Ответ
Хорда тем короче, чем дальше она от центра, а расстояние от центра до хорды через P не больше OP и равно OP только для хорды, перпендикулярной OP.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».