Задание 924

Дано: окружность \(\omega\) и точки \(A\), \(B\), \(M\) на ней. Построить: вписанный в \(\omega\) треугольник \(PQR\), у которого прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану из вершины \(P\), вторично пересекают \(\omega\) в точках \(A\), \(B\), \(M\).

Анализ. Пусть \(PQR\) построен, \(O\) — центр \(\omega\). Биссектриса угла \(P\) делит пополам вписанный угол \(QPR\), поэтому дуги \(QB\) и \(BR\) равны, \(BQ = BR\), и \(B\) лежит на серединном перпендикуляре к \(QR\) — как и \(O\). Значит, \(OB \perp QR\). Высота тоже перпендикулярна \(QR\), поэтому \(PA \parallel OB\). Середина \(K\) стороны \(QR\) лежит на прямой \(OB\) и на прямой \(PM\).

Построение.

1. Находим центр \(O\) окружности (пересечение серединных перпендикуляров к двум хордам) и проводим прямую \(OB\).
2. Через \(A\) проводим прямую, параллельную \(OB\); её вторая точка пересечения с \(\omega\) — вершина \(P\) (если прямая касается \(\omega\), то \(P = A\)).
3. Прямая \(PM\) пересекает прямую \(OB\) в точке \(K\).
4. Через \(K\) проводим прямую, перпендикулярную \(OB\); она пересекает \(\omega\) в точках \(Q\) и \(R\).

Доказательство. Хорда \(QR\) перпендикулярна прямой \(OB\), проходящей через центр, поэтому \(K\) — середина \(QR\), и \(PM\) — прямая медианы. \(PA \parallel OB \perp QR\), значит, \(PA\) — прямая высоты. \(B\) на серединном перпендикуляре к \(QR\), поэтому \(BQ = BR\), дуги \(BQ\) и \(BR\) равны, и при \(B\) на дуге \(QR\), не содержащей \(P\), вписанные углы \(QPB\) и \(BPR\) равны — \(PB\) биссектриса.

Исследование. Решение есть и единственно, если точка \(K\) лежит внутри окружности и точки \(P\) и \(B\) лежат по разные стороны от прямой \(QR\); иначе (например, если \(K\) вне круга) решений нет. Если \(A = B = M\), то \(P\) — точка, диаметрально противоположная \(B\), прямая \(PM\) совпадает с \(OB\), и точка \(K\) не определяется: подходит любой равнобедренный треугольник с вершиной \(P\) — решений бесконечно много.