Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 925

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки — основания высот. Сколько решений имеет задача?

Решение

Дано: точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ , не лежащие на одной прямой. Построить: $\triangle ABC$ , у которого $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ — основания высот, проведённых к прямым $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ . Найти число решений.

Обозначим через $$I$$ точку пересечения биссектрис $\triangle A_1B_1C_1$ , а через $$I_a$$ , $$I_b$$ , $$I_c$$ — точки пересечения биссектрис внешних углов при двух вершинах (по задаче 908 $$I_a$$ лежит на биссектрисе угла $$A_1$$ и т. д.).

Анализ.

Пусть $$ABC$$ — остроугольный треугольник с основаниями высот $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ . Точки $$B_1$$ и $$C_1$$ видят $$BC$$ под прямым углом, поэтому лежат на окружности с диаметром $$BC$$ ; вписанный четырёхугольник $$BCB_1C_1$$ даёт $\angle AC_1B_1 = 180^\circ - \angle BC_1B_1 = \angle ACB$ . Так же из окружности с диаметром $$AC$$ : $\angle BC_1A_1 = \angle ACB$ . Значит, прямая $$AB$$ образует равные углы с $$C_1A_1$$ и $$C_1B_1$$ — это биссектриса внешнего угла треугольника $$A_1B_1C_1$$ при $$C_1$$ , а высота $CC_1 \perp AB$ — биссектриса его внутреннего угла. Так же для сторон $$BC$$ и $$CA$$ . Вершины $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ — пересечения внешних биссектрис, то есть $$ABC$$ — треугольник $$I_aI_bI_c$$ .
Прямоугольный треугольник не подходит: у него два основания высот совпадают с вершиной прямого угла.
Пусть $$ABC$$ тупоугольный, $\angle A > 90^\circ$ , $$H$$ — точка пересечения прямых высот. Треугольник $$HBC$$ имеет те же основания высот: прямые $$HA$$ , $$BA$$ , $$CA$$ перпендикулярны $$BC$$ , $$HC$$ , $$HB$$ и пересекают их в $$A_1$$ , $$C_1$$ , $$B_1$$ . Его углы $90^\circ - \angle C$ , $90^\circ - \angle B$ и $180^\circ - \angle A$ острые, поэтому по п. 1 $$HBC$$ — это $$I_aI_bI_c$$ , а $$A$$ — точка пересечения его высот. Высоты треугольника $$I_aI_bI_c$$ — биссектрисы $\triangle A_1B_1C_1$ , они пересекаются в $$I$$ . Значит, $$ABC$$ — один из треугольников $$II_bI_c$$ , $$II_aI_c$$ , $$II_aI_b$$ . Итак, решений не больше четырёх.

Построение. Строим биссектрисы углов $\triangle A_1B_1C_1$ и прямые, перпендикулярные им в вершинах (биссектрисы внешних углов). Получаем точки $$I$$ , $$I_a$$ , $$I_b$$ , $$I_c$$ и четыре треугольника $$I_aI_bI_c$$ , $$II_bI_c$$ , $$II_aI_c$$ , $$II_aI_b$$ .

Доказательство. Прямая $$I_bI_c$$ — внешняя биссектриса при $$A_1$$ , она проходит через $$A_1$$ ; прямая $$I_aA_1$$ (на ней лежит и $$I$$ ) — внутренняя биссектриса при $$A_1$$ , она перпендикулярна $$I_bI_c$$ . Поэтому в $\triangle I_aI_bI_c$ основание высоты из $$I_a$$ — точка $$A_1$$ ; так же для $$B_1$$ и $$C_1$$ . В $\triangle II_bI_c$ : высота из $$I$$ — прямая $IA_1 \perp I_bI_c$ , основание $$A_1$$ ; прямая $$II_c$$ — внутренняя биссектриса при $$C_1$$ , а $$I_bC_1$$ — внешняя, они перпендикулярны, поэтому основание высоты из $$I_b$$ — $$C_1$$ ; так же основание высоты из $$I_c$$ — $$B_1$$ . Остальные два треугольника — аналогично.

Ответ: четыре решения.

Ответ

Четыре решения — треугольник из точек пересечения внешних биссектрис треугольника A₁B₁C₁ и три треугольника из центра вписанной окружности и двух таких точек.

Почему так

У остроугольного треугольника стороны — внешние биссектрисы треугольника из оснований высот, а высоты — внутренние (задача 908).

Подробнее — в теме «Замечательные точки треугольника».

Задание 925

Задача 1