Задача 1
Делимое 58, неполное частное 3. Найти делитель при остатках 13 и 10, дописать другие возможные случаи. Есть ли ещё случаи?
Решение
Из \(a = bq + r\) получаем \(3b = 58 - r\).
При \(r = 13\) имеем \(3b = 45\), \(b = 15\). При \(r = 10\) имеем \(3b = 48\), \(b = 16\).
Другие случаи. Нужно \(3b \le 58\), то есть \(b \le 19\), и остаток \(58 - 3b < b\), то есть \(4b > 58\), \(b \ge 15\). Подходят \(b = 15, 16, 17, 18, 19\):
При \(b = 17\) остаток \(r = 58 - 51 = 7\), при \(b = 18\) — \(r = 58 - 54 = 4\), при \(b = 19\) — \(r = 58 - 57 = 1\).
Других случаев нет: при \(b = 20\) частное уже \(2\), при \(b = 14\) остаток \(16 > 14\).
Ответ
Остаток должен быть меньше делителя, поэтому делитель при данных a и q берётся из узкого промежутка.
Подробнее — в теме «Деление с остатком».