Деление с остатком — 5 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Деление натуральных чисел

Коротко о главном

Если число не делится нацело, его делят с остатком: находят, сколько раз делитель целиком помещается в делимом (неполное частное), и что остаётся (остаток). Остаток всегда меньше делителя.

a = bq + r, \qquad r < b

Подробное объяснение

Бабушка испекла 23 пирожка и раскладывает их в коробки по 5 штук. Четыре коробки заполнились, а 3 пирожка остались — на пятую коробку не хватает. Разделить 23 на 5 нацело нельзя, но можно сказать точно, сколько получилось полных коробок и сколько пирожков лишних. Это и есть деление с остатком.

23 пирожка разложены в коробки по 5. Четыре полные коробки, 3 пирожка остались отдельно. Ниже запись 23 : 5 = 4 (ост. 3) и проверка 5 · 4 + 3 = 23. — Неполное частное 4 — число полных коробок, остаток 3 меньше делителя 5.

Названия чисел

Записывают так: $$23 : 5 = 4$$ (ост. $$3$$ ). Здесь:

$$23$$ — делимое $$a$$ , то, что делим;
$$5$$ — делитель $$b$$ , на сколько (или по сколько) делим;
$$4$$ — неполное частное $$q$$ , сколько раз делитель целиком помещается в делимом;
$$3$$ — остаток $$r$$ , то, что осталось.

Частное называют «неполным», потому что деление не закончилось: остаток на целое число частей уже не делится.

Почему остаток меньше делителя

Если бы осталось 5 пирожков или больше, из них можно было бы заполнить ещё одну коробку. Значит, неполное частное было найдено неверно. Поэтому остаток всегда меньше делителя: $$r < b$$ . При делении на $$5$$ возможны только остатки $$0, 1, 2, 3, 4$$ — ровно пять разных.

Если остаток равен $$0$$ , говорят, что число делится нацело: $$30 : 5 = 6$$ (ост. $$0$$ ), то есть просто $$30 : 5 = 6$$ .

Как найти делимое

Соберём пирожки обратно: 4 коробки по 5 и ещё 3 штуки. $5 \cdot 4 + 3 = 23$ . В общем виде:

\[a = bq + r\]

Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток. Этой же формулой удобно проверять любое деление с остатком.

Как выполнять деление с остатком

Небольшие числа делят подбором по таблице умножения. Разделим $$47$$ на $$6$$ . Произведение $6 \cdot 7 = 42$ помещается в $$47$$ , а $6 \cdot 8 = 48$ уже больше. Значит, $$q = 7$$ , $$r = 47 - 42 = 5$$ .

Большие числа делят уголком, как обычно. Деление просто заканчивается не нулём, а числом меньше делителя — это и есть остаток. Например, $$1000 : 7 = 142$$ (ост. $$6$$ ), потому что $7 \cdot 142 = 994$ .

Как решать задачи

Найдите неполное частное: наибольшее число $$q$$ , при котором $b \cdot q$ не больше делимого.
Найдите остаток: $$r = a - bq$$ . Убедитесь, что $$r < b$$ .
Проверьте: $$bq + r$$ должно дать делимое.
В текстовой задаче подумайте, что делать с остатком. «Сколько полных коробок» — ответ $$q$$ . «Сколько нужно коробок, чтобы уложить всё» — ответ $$q + 1$$ , если остаток не ноль.
Если известны делитель, неполное частное и остаток, делимое находят по формуле $$a = bq + r$$ .

Разобранные примеры

База

Деление с остатком и проверка

Условие

Выполните деление с остатком: $$250 : 16$$ .

Решение

$16 \cdot 15 = 240$ , а $16 \cdot 16 = 256 > 250$ . Значит, неполное частное $$15$$ . Остаток $$250 - 240 = 10$$ , и $$10 < 16$$ .

Проверка: $16 \cdot 15 + 10 = 250$ .

Ответ: 250 : 16 = 15 (ост. 10)

Средний

Сколько нужно лодок

Условие

На турбазе 45 туристов, в лодку садятся 6 человек. Сколько лодок нужно, чтобы переправить всех за один раз?

Дано

45 туристов
по 6 в лодке

Найти

число лодок

Решение

$$45 : 6 = 7$$ (ост. $$3$$ ). Семь лодок будут заполнены, а $$3$$ туриста останутся на берегу. Им нужна ещё одна лодка: $$7 + 1 = 8$$ .

Ответ: 8 лодок

Сложный

Восстановить делимое

Условие

Какое наибольшее число можно разделить на 15 так, чтобы неполное частное было 20?

Решение

Делимое $a = 15 \cdot 20 + r$ . Остаток меньше делителя, поэтому наибольший возможный остаток $$14$$ . Тогда $$a = 300 + 14 = 314$$ . Число $$315$$ уже даст частное $$21$$ .

Ответ: 314

Типичные ошибки

Остаток получается больше делителя

Почему неверно

Ученик пишет $$50 : 7 = 6$$ (ост. $$8$$ ). Проверка $7 \cdot 6 + 8 = 50$ сходится, но из $$8$$ можно выделить ещё одну семёрку, значит, деление не доведено до конца.

Как правильно

После деления всегда сравните остаток с делителем. $$50 : 7 = 7$$ (ост. $$1$$ ), потому что $7 \cdot 7 = 49$ и $$1 < 7$$ .

Отбрасывают остаток там, где он важен

Почему неверно

«30 человек, в машину садятся 4. Сколько машин нужно?» — отвечают $$7$$ , потому что $$30 : 4 = 7$$ (ост. $$2$$ ). Но тогда два человека не уедут.

Как правильно

Прочитайте вопрос. Если нужно разместить всех, остаток требует ещё одного места: $$7 + 1 = 8$$ машин. А если спрашивают, сколько полных машин получится, ответ $$7$$ .

Путают делитель и неполное частное при проверке

Почему неверно

По записи $2791 = 36 \cdot 76 + 55$ говорят: «делитель 36». Но остаток $$55$$ больше $$36$$ , так быть не может.

Как правильно

Делитель — тот множитель, который больше остатка. Здесь делитель $$76$$ , неполное частное $$36$$ , остаток $$55$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выполните деление с остатком: $$58 : 9$$ .

Подсказка

Найдите наибольшее число, кратное 9, которое не больше 58.

Решение

$9 \cdot 6 = 54 \le 58$ , а $9 \cdot 7 = 63 > 58$ . Значит, неполное частное $$6$$ , остаток $$58 - 54 = 4$$ . Проверка: $9 \cdot 6 + 4 = 58$ .

Ответ

6 (ост. 4)

База Задача 2

При делении числа на 12 получили неполное частное 7 и остаток 5. Найдите делимое.

Подсказка

Делимое равно делителю, умноженному на неполное частное, плюс остаток.

Решение

$a = bq + r = 12 \cdot 7 + 5 = 84 + 5 = 89$ .

Ответ

89

Средний Задача 3

В классе 29 учеников. Их рассаживают в автобусы по 8 человек. Сколько автобусов нужно, чтобы уехали все?

Подсказка

Если после деления остались люди, им тоже нужен автобус.

Решение

$$29 : 8 = 3$$ (ост. $$5$$ ). Три автобуса будут заполнены, а $$5$$ учеников останутся — для них нужен ещё один. Всего $$3 + 1 = 4$$ автобуса.

Ответ

4 автобуса

Средний Задача 4

Какие остатки могут получиться при делении натурального числа на 6? Сколько их?

Решение

Остаток всегда меньше делителя, поэтому он может быть $$0, 1, 2, 3, 4$$ или $$5$$ . Всего $$6$$ разных остатков — столько же, сколько единиц в делителе.

Ответ

0, 1, 2, 3, 4, 5 — всего 6 остатков

Сложный Задача 5

Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое при делении на 25 даёт остаток 7.

Подсказка

Разделите 1000 на 25 и подумайте, какое ближайшее число подходит.

Решение

Числа с остатком $$7$$ имеют вид $$25q + 7$$ . $1000 = 25 \cdot 40$ , поэтому $25 \cdot 40 + 7 = 1007$ — уже четырёхзначное. Предыдущее такое число $25 \cdot 39 + 7 = 982$ — трёхзначное. Ответ $$1007$$ .

Ответ

1007

Сложный Задача 6

Делимое 100, неполное частное 7. Каким может быть делитель и остаток? Найдите все варианты.

Подсказка

Остаток должен быть меньше делителя, а $7b \le 100$ .

Решение

Нужно $7b \le 100$ и остаток $$100 - 7b < b$$ , то есть $$8b > 100$$ . Первое условие даёт $b \le 14$ , второе — $b \ge 13$ . При $$b = 13$$ остаток $$100 - 91 = 9$$ , при $$b = 14$$ остаток $$100 - 98 = 2$$ .

Ответ

Делитель 13, остаток 9 или делитель 14, остаток 2

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите 17 конфет или пуговиц и попросите ребёнка разложить их на кучки по 5. Получится 3 кучки и 2 лишних. Назовите вслух: 17 — делимое, 5 — делитель, 3 — неполное частное, 2 — остаток. Потом спросите, может ли в остатке быть 5 штук, — пусть сам увидит, что тогда выйдет ещё одна кучка.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие остатки бывают при делении на 4? 2) Как проверить, что $$38 : 5 = 7$$ (ост. $$3$$ )? 3) В каком случае говорят, что число делится нацело?

На что обратить внимание. Главное правило — остаток меньше делителя, приучите сверять их после каждого деления. В задачах про автобусы, коробки и лодки остаток часто означает «нужна ещё одна» — пусть ребёнок каждый раз проговаривает, что происходит с остатком.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 14	3.142, 3.143, 3.144, 3.145, 3.146, 3.147, 3.148, 3.149, 3.150, 3.151, 3.152, 3.153, 3.154, 3.155, 3.156, 3.157, 3.158, 3.159, 3.160, 3.161, 3.162, 3.163, 3.164, 3.165, 3.166, 3.167, 3.168, 3.169, 3.170, 3.171, 3.172, 3.173, 3.174, 3.175, 3.176, 3.177, 3.178, 3.179, 3.180, 3.181