Задача 1
Проверьте равенства вида 1/3 · 1/5 = 1/2 · (1/3 − 1/5) и с их помощью докажите, что 1/3·1/5 + 1/5·1/7 + … + 1/13·1/15 = 2/15.
Решение
Проверка первого равенства: \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{15}\) и \(\dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{5}{15} - \dfrac{3}{15}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{1}{15}\). Так же \(\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{35} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{35}\) и \(\dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{63} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{63}\).
Заменим каждое слагаемое суммы по этому образцу и вынесем \(\dfrac{1}{2}\):
\(\dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{13} + \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{15}\right)\).
Все средние дроби взаимно уничтожаются, остаётся
\(\dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{15}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{2}{15}\), что и требовалось доказать.
Ответ
Каждое произведение 1/n · 1/(n+2) равно половине разности 1/n − 1/(n+2), и в сумме соседние дроби сокращаются.
Подробнее — в теме «Умножение дробей».