Чему равно 2/9 · 3?

\dfrac{6}{9} и сократить нельзя

Какие равенства верны?

\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = 1

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}

\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{6}

Умножение дробей — 5 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сокращение дробей

Коротко о главном

Чтобы умножить дробь на натуральное число, умножают на него числитель, а знаменатель оставляют. Чтобы перемножить две дроби, перемножают отдельно числители и отдельно знаменатели.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Подробное объяснение

Дробь умножить на натуральное число

Представьте, что на один бутерброд уходит $\dfrac{2}{7}$ батона. Сколько батона уйдёт на 3 бутерброда? Надо сложить три одинаковые дроби:

\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2 + 2 + 2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7} = \frac{6}{7}.

Знаменатель не изменился: мы режем батон на те же седьмые части, просто берём их втрое больше. Поэтому правило такое: числитель умножают на число, знаменатель оставляют без изменения. От перестановки множителей ничего не меняется: $3 \cdot \dfrac{2}{7}$ — то же самое.

Дробь умножить на дробь

Удобнее всего понять это через площадь. Возьмём квадрат со стороной 1 м, его площадь 1 м². Вырежем из него прямоугольник со сторонами $\dfrac{3}{4}$ м и $\dfrac{2}{3}$ м. Его площадь и есть произведение $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3}$ .

Квадрат 1 м на 1 м разбит на 12 равных клеток — 4 столбца и 3 ряда. Закрашен прямоугольник 3/4 м на 2/3 м из 6 клеток, его площадь 6/12 = 1/2 м². — Числители дают число закрашенных клеток (3 · 2), знаменатели — число всех клеток (4 · 3).

Разделим одну сторону квадрата на 4 части, другую — на 3. Получится $4 \cdot 3 = 12$ одинаковых клеток — это знаменатель. Наш прямоугольник занимает $3 \cdot 2 = 6$ клеток — это числитель. Значит, площадь равна $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ м². Отсюда правило: числители перемножают, знаменатели перемножают.

Натуральное число тоже можно записать дробью: $5 = \dfrac{5}{1}$ . Поэтому первое правило — частный случай второго.

Сокращайте до умножения

Если перемножить сразу, числа выйдут большими, и сокращать будет трудно. Лучше записать произведение под одной чертой и сократить крест-накрест:

\frac{5}{12} \cdot \frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 8}{12 \cdot 15} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}.

Здесь 5 и 15 сократили на 5, а 8 и 12 — на 4. Если в ответе получилась неправильная дробь, из неё выделяют целую часть: $\dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}$ .

Свойства умножения

Для дробей верны те же свойства, что и для натуральных чисел: множители можно переставлять и группировать. Умножение на 1 не меняет число, умножение на 0 даёт 0.

Полезно помнить, как меняется число. Если умножить его на правильную дробь (она меньше 1), оно уменьшится: $10 \cdot \dfrac{3}{5} = 6$ . Если на неправильную дробь больше 1 — увеличится: $10 \cdot \dfrac{3}{2} = 15$ .

Квадрат и куб дроби

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$ — в квадрат возводят и числитель, и знаменатель. Так же с кубом: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$ .

Как решать задачи

Запишите произведение под одной дробной чертой: числители сверху, знаменатели снизу.
Найдите общие множители у любого числа сверху и любого числа снизу, сократите.
Перемножьте то, что осталось.
Если дробь неправильная, выделите целую часть.
В выражениях соблюдайте порядок действий: скобки, степени, умножение, потом сложение и вычитание.

Разобранные примеры

База

Сок в стаканах

Условие

В стакан наливают $\dfrac{3}{10}$ л сока. Сколько литров сока нужно на 6 стаканов?

Решение

$\dfrac{3}{10} \cdot 6 = \dfrac{3 \cdot 6}{10} = \dfrac{18}{10} = \dfrac{9}{5} = 1\dfrac{4}{5}$ л.

Ответ: 1 4/5 л

Средний

Произведение с сокращением

Условие

Вычислите $\dfrac{14}{15} \cdot \dfrac{10}{21}$ .

Решение

$\dfrac{14 \cdot 10}{15 \cdot 21}$ . Сократим 14 и 21 на 7, 10 и 15 на 5: $\dfrac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \dfrac{4}{9}$ .

Ответ: 4/9

Сложный

Площадь грядки

Условие

Грядка имеет форму прямоугольника длиной $2\dfrac{1}{2}$ м и шириной $\dfrac{4}{5}$ м. Найдите её площадь.

Решение

Смешанное число запишем неправильной дробью: $2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$ .

$S = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \dfrac{2}{1} = 2$ м².

Ответ: 2 м²

Типичные ошибки

Умножают на число и числитель, и знаменатель

Почему неверно

$\dfrac{2}{7} \cdot 3 \ne \dfrac{6}{21}$ : дробь $\dfrac{6}{21}$ равна $\dfrac{2}{7}$ — умножив оба числа, мы получили ту же дробь, а не в 3 раза большую.

Как правильно

Умножаем только числитель: $\dfrac{2}{7} \cdot 3 = \dfrac{6}{7}$ .

Приводят к общему знаменателю, как при сложении

Почему неверно

При умножении общий знаменатель не нужен. Если привести $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}$ к шестым и перемножить только числители, выйдет $\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6} = \dfrac{6}{6}$ — неверно.

Как правильно

Сразу перемножаем числители и знаменатели: $\dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \dfrac{1}{6}$ .

Сокращают числитель с числителем

Почему неверно

В $\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{7}$ нельзя «сократить» 4 и 6 — сокращать можно только число сверху с числом снизу.

Как правильно

Сокращают числитель одной дроби со знаменателем той же или другой дроби. Здесь сокращать нечего: $\dfrac{24}{35}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В одном пакете $\dfrac{3}{8}$ кг орехов. Сколько килограммов орехов в 4 таких пакетах?

Подсказка

Умножьте дробь на 4 — числитель умножается, знаменатель остаётся.

Решение

Дано

в пакете $\dfrac{3}{8}$ кг
пакетов 4

Найти

массу орехов

$\dfrac{3}{8} \cdot 4 = \dfrac{3 \cdot 4}{8} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$ кг.

Ответ

1 1/2 кг

База Задача 2

Найдите произведение $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{7}$ .

Решение

$\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \dfrac{6}{35}$ . Сокращать нечего.

Ответ

6/35

Средний Задача 3

Вычислите $\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{25}{27}$ , сократив дроби до умножения.

Подсказка

9 и 27 делятся на 9, 25 и 10 — на 5.

Решение

$\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{25}{27} = \dfrac{9 \cdot 25}{10 \cdot 27}$ .

Сократим 9 и 27 на 9, 25 и 10 на 5: $\dfrac{1 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \dfrac{5}{6}$ .

Ответ

5/6

Средний Задача 4

Велосипедист едет со скоростью 18 км/ч. Какой путь он проедет за $\dfrac{5}{6}$ ч?

Решение

Дано

$$v = 18$$ км/ч
$t = \dfrac{5}{6}$ ч

Найти

$$s$$

$s = vt = 18 \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{18 \cdot 5}{6} = 3 \cdot 5 = 15$ км.

Ответ

15 км

Сложный Задача 5

Найдите объём коробки в форме прямоугольного параллелепипеда с измерениями $\dfrac{2}{3}$ м, $\dfrac{9}{10}$ м и $\dfrac{5}{12}$ м.

Подсказка

Перемножьте все три дроби сразу и сократите до умножения.

Решение

Дано

$a = \dfrac{2}{3}$ м
$b = \dfrac{9}{10}$ м
$c = \dfrac{5}{12}$ м

Найти

$$V$$

$V = abc = \dfrac{2 \cdot 9 \cdot 5}{3 \cdot 10 \cdot 12} = \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$ м³.

Удобнее сокращать по частям: 9 и 3 — на 3, 5 и 10 — на 5, затем 2 и 12 — на 2, получаем $\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 6} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ .

Ответ

1/4 м³

Сложный Задача 6

Вычислите $\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{8}{9} + \dfrac{7}{9}$ .

Подсказка

Порядок действий — скобки, степень, умножение, сложение.

Решение

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ .
$\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{2}{9}$ .
$\dfrac{2}{9} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{9}{9} = 1$ .

Ответ

1

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и нарисуйте квадрат 4 × 3 клетки — это «единица». Закрасьте в нём прямоугольник 3 × 2 клетки: это $\dfrac{3}{4}$ ширины и $\dfrac{2}{3}$ высоты. Пусть ребёнок посчитает закрашенные клетки (6) и все клетки (12) — это и есть $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{12}$ .

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему при умножении $\dfrac{2}{9}$ на 4 знаменатель не меняется? 2) Больше или меньше 20 будет $20 \cdot \dfrac{3}{4}$ и почему? 3) Чему равно $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ ?

На что обратить внимание. Ребёнок не должен путать умножение со сложением дробей: общий знаменатель при умножении не нужен. Приучайте сокращать до перемножения — так меньше ошибок в больших числах.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 37	5.459, 5.460, 5.461, 5.462, 5.463, 5.464, 5.465, 5.466, 5.467, 5.468, 5.469, 5.470, 5.471, 5.472, 5.473, 5.474, 5.475, 5.476, 5.477, 5.478, 5.479, 5.480, 5.481, 5.482, 5.483, 5.484, 5.485, 5.486, 5.487, 5.488, 5.489, 5.490, 5.491