Задача 1
Условие (кратко)
«Развивай мышление». В поездах МЦД бесплатно везут предметы, у которых сумма трёх измерений не больше 180 см. При каких измерениях коробки её объём наибольший?
Решение
Дано
- \(a + b + c \le 180\) см
Найти
- \(a\)
- \(b\)
- \(c\)
- при которых объём \(V = a \cdot b \cdot c\) наибольший
Чем больше измерения, тем больше объём, поэтому сумму стоит взять наибольшую: \(a + b + c = 180\) см.
Сравним несколько коробок с суммой измерений 180 см:
- \(100 \cdot 50 \cdot 30 = 150\,000\) см³;
- \(80 \cdot 60 \cdot 40 = 192\,000\) см³;
- \(70 \cdot 60 \cdot 50 = 210\,000\) см³;
- \(60 \cdot 60 \cdot 60 = 216\,000\) см³.
Чем ближе измерения друг к другу, тем больше объём. Если два измерения не равны, их можно «выровнять», не меняя суммы, и произведение вырастет: например, \(70 \cdot 50 = 3500\), а \(60 \cdot 60 = 3600\). Поэтому наибольший объём — у куба с ребром \(180 : 3 = 60\) см.
Ответ
60 см × 60 см × 60 см (куб), объём 216 000 см³
Почему так
При постоянной сумме измерений объём тем больше, чем ближе измерения друг к другу; наибольший — когда они равны.
Подробнее — в теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».