Ширину параллелепипеда увеличили в 2 раза, а высоту — в 3 раза. Как изменился объём?

Увеличился в 6 раз

Увеличился в 5 раз

Увеличился в 3 раза

Объём прямоугольного параллелепипеда

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Прямоугольный параллелепипед

Коротко о главном

Объём показывает, сколько места занимает тело. Его измеряют кубиками: кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, объём куба — кубу ребра.

V = abc, \qquad V = a^3

Подробное объяснение

В литровую банку можно налить воду, молоко или насыпать крупу. Весить они будут по-разному, но места займут одинаково — один литр. Это и есть объём.

Свойства объёма

Объём похож на площадь:

Равные фигуры имеют равные объёмы.
Если фигуру разрезать на части, объём всей фигуры равен сумме объёмов частей.

Сравнить объёмы двух банок можно без линейки: наполнить первую водой и перелить во вторую. Вода не поместилась — у первой банки объём больше; вторая заполнилась ровно — объёмы равны.

Единицы объёма

Площадь мерят квадратиками, а объём — кубиками:

кубический миллиметр (мм³) — объём куба с ребром 1 мм;
кубический сантиметр (см³) — с ребром 1 см;
кубический дециметр (дм³) — с ребром 1 дм;
кубический метр (м³) и кубический километр (км³).

Кубический дециметр называют литром, а кубический сантиметр — миллилитром: 1 л = 1 дм³, 1 мл = 1 см³.

Если фигура сложена из 7 кубиков с ребром 1 см, её объём 7 см³: объём равен числу единичных кубиков.

Формула объёма

Возьмём брусок длиной 4 см, шириной 3 см и высотой 2 см и разрежем его на кубики с ребром 1 см. Нижний слой — это 3 ряда по 4 кубика, то есть $4 \cdot 3 = 12$ кубиков. Слоёв два, значит, всего $12 \cdot 2 = 24$ кубика, и объём равен 24 см³.

Прямоугольный параллелепипед длиной 4, шириной 3 и высотой 2, сложенный из 24 единичных кубиков в два слоя по 12. — В нижнем слое 4 · 3 = 12 кубиков, слоёв 2, значит, объём 4 · 3 · 2 = 24 кубических единицы.

Получилось правило: чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, нужно перемножить его длину, ширину и высоту:

\[V = abc.\]

Произведение $$ab$$ — это площадь нижней грани (основания). Поэтому объём можно найти и так: площадь основания умножить на высоту, $V = S \cdot c$ .

У куба все рёбра равны, поэтому $V = a \cdot a \cdot a = a^3$ . Отсюда и название: $$a^3$$ читают « $$a$$ в кубе».

Как переводить единицы

1 м = 10 дм, а 1 м³ — это куб $10 \times 10 \times 10$ дм, в нём $$1000$$ дм³. Так же получаются все соотношения:

1 см³ = 1000 мм³;
1 дм³ = 1 л = 1000 см³;
1 м³ = 1000 дм³ = 1000 л;
1 км³ = 1 000 000 000 м³.

Соседние единицы объёма отличаются не в 10, а в 1000 раз.

Как решать задачи

Выпишите измерения и проверьте, что они в одних единицах. Если нет — переведите.
Для объёма перемножьте три измерения: $$V = abc$$ (для куба $$V = a^3$$ ).
Если известен объём и два измерения, третье найдите делением: $$c = V : (ab)$$ .
Запишите ответ в кубических единицах — тех же, в которых были длины (см → см³).
Если спрашивают литры, переведите: 1 дм³ = 1 л.

Разобранные примеры

База

Объём коробки

Условие

Коробка имеет длину 12 см, ширину 8 см и высоту 5 см. Найдите её объём.

Дано

$$a = 12$$ см
$$b = 8$$ см
$$c = 5$$ см

Найти

$$V$$

Решение

$V = abc = 12 \cdot 8 \cdot 5 = 480$ см³.

Ответ: 480 см³

Средний

Измерения в разных единицах

Условие

Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда: длина 1 м, ширина 6 дм, высота 50 см. Сколько литров воды в нём помещается?

Дано

$$a = 1$$ м
$$b = 6$$ дм
$$c = 50$$ см

Найти

$$V$$ в литрах

Решение

Литр — это дм³, поэтому переведём всё в дециметры: $$a = 10$$ дм, $$b = 6$$ дм, $$c = 5$$ дм.

$V = 10 \cdot 6 \cdot 5 = 300$ дм³ $$= 300$$ л.

Ответ: 300 л

Сложный

Ребро куба по площади поверхности

Условие

Площадь поверхности куба 54 см². Найдите его объём.

Дано

$$S = 54$$ см²

Найти

$$V$$

Решение

У куба 6 одинаковых граней, одна грань имеет площадь $$54 : 6 = 9$$ см². Грань — квадрат, $9 = 3 \cdot 3$ , поэтому ребро $$a = 3$$ см.

$$V = a^3 = 3^3 = 27$$ см³.

Ответ: 27 см³

Типичные ошибки

Перемножают длины в разных единицах

Почему неверно

В задаче «2 м, 5 дм, 40 см» произведение $2 \cdot 5 \cdot 40 = 400$ не означает ни м³, ни см³: множители измерены разными «линейками».

Как правильно

Сначала переведите все измерения в одну единицу: 200 см, 50 см, 40 см. Тогда $V = 200 \cdot 50 \cdot 40 = 400\,000$ см³ $$= 400$$ дм³.

Думают, что 1 м³ = 100 дм³ или 1 дм³ = 10 см³

Почему неверно

Для длины 1 м = 10 дм, но кубический метр — это куб, в котором 10 слоёв по $10 \cdot 10$ кубических дециметров.

Как правильно

$$1$$ м³ $= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ дм³. Соседние единицы объёма отличаются в 1000 раз: 1 дм³ = 1000 см³, 1 см³ = 1000 мм³.

Путают объём и площадь поверхности

Почему неверно

Для бруска $2 \times 3 \times 4$ см складывают площади граней и пишут «объём 52 см³». Но 52 см² — это площадь поверхности (сколько бумаги уйдёт на обёртку), а не место внутри.

Как правильно

Объём — произведение трёх измерений: $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ см³. Объём измеряется в кубических единицах (см³), площадь — в квадратных (см²).

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 6 см, 5 см и 3 см.

Подсказка

Перемножьте длину, ширину и высоту.

Решение

$V = abc = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 90$ см³.

Ответ

90 см³

База Задача 2

Найдите объём куба с ребром 4 дм. Сколько это литров?

Подсказка

Объём куба равен $$a^3$$ , а $$1$$ дм³ — это $$1$$ л.

Решение

$V = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ дм³ $$= 64$$ л.

Ответ

64 дм³ = 64 л

Средний Задача 3

Аквариум имеет длину 50 см, ширину 30 см и высоту 40 см. Сколько литров воды в нём помещается?

Подсказка

Переведите размеры в дециметры.

Решение

В дециметрах: $5 \times 3 \times 4$ дм. $V = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$ дм³ $$= 60$$ л.

Ответ

60 л

Средний Задача 4

Объём коробки 2400 см³, длина 20 см, ширина 15 см. Найдите высоту коробки.

Подсказка

Площадь дна равна $20 \cdot 15$ .

Решение

Площадь дна $20 \cdot 15 = 300$ см². Высота $$c = V : (ab) = 2400 : 300 = 8$$ см.

Ответ

8 см

Сложный Задача 5

Во дворе нужно засыпать песком песочницу 2 м × 2 м слоем 25 см. Песок привозят мешками по 50 л. Сколько мешков нужно?

Подсказка

Выразите всё в дециметрах, 1 дм³ = 1 л.

Решение

Выразим размеры в сантиметрах: 200 см, 200 см, 25 см. $V = 200 \cdot 200 \cdot 25 = 1\,000\,000$ см³ $$= 1000$$ дм³ $$= 1000$$ л. Мешков нужно $$1000 : 50 = 20$$ .

Ответ

20 мешков

Сложный Задача 6

Длину, ширину и высоту бруска увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличился объём? Проверьте на бруске 1 × 2 × 3 см.

Подсказка

Каждый множитель в $$abc$$ стал вдвое больше.

Решение

$$(2a)(2b)(2c) = 8abc$$ — объём увеличился в 8 раз. Проверка: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ см³, $2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$ см³, $$48 : 6 = 8$$ .

Ответ

В 8 раз

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите кубики из детского конструктора или кусочки сахара-рафинада. Сложите из них брусок, например 3 × 2 × 2, и попросите ребёнка сосчитать кубики сначала по одному, а потом «по слоям»: в одном слое 3 · 2 = 6, слоёв 2, всего 12. Так формула V = abc появляется сама. Потом покажите литровый пакет молока: внутри как раз 1 дм³, то есть 1000 кубиков по 1 см³.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему в 1 м³ не 10, а 1000 дм³? 2) Можно ли найти объём, если известны площадь дна коробки и её высота? 3) Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в 2 раза?

На что обратить внимание. Главные трудности — перевод единиц (множитель 1000, а не 10) и разные единицы длины в одной задаче. Следите, чтобы ответ записывался в кубических единицах: см³, а не см или см².

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 24	4.151, 4.152, 4.153, 4.154, 4.155, 4.156, 4.157, 4.158, 4.159, 4.160, 4.161, 4.162, 4.163, 4.164, 4.165, 4.166, 4.167, 4.168, 4.169, 4.170, 4.171, 4.172, 4.173, 4.174, 4.175, 4.176, 4.177, 4.178, 4.179, 4.180, 4.181, 4.182