а) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: время движения поезда и пройденный путь при постоянной скорости.
Решение
Путь равен скорости, умноженной на время: \(s = v \cdot t\). Если время увеличить, например, в 2 раза, то и путь при той же скорости увеличится в 2 раза.
Ответ
Прямо пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
б) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: количество одинакового товара и его стоимость.
Решение
Стоимость равна цене, умноженной на количество. При одной и той же цене вдвое больше товара стоит вдвое дороже.
Ответ
Прямо пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
в) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: число рабочих одинаковой квалификации и время выполнения определённой работы.
Решение
Работа одна и та же. Если рабочих станет в 2 раза больше, то они выполнят её в 2 раза быстрее, т. е. время уменьшится в 2 раза.
Ответ
Обратно пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
г) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: масса деревянного бруска и его длина.
Решение
Будем считать, что бруски из одного дерева и с одинаковым поперечным сечением. Тогда брусок вдвое длиннее имеет вдвое больший объём, а значит, и вдвое большую массу.
Ответ
Прямо пропорциональная (при одинаковом сечении)
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
д) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: время работы снегоуборочной техники и число единиц одинаковой техники.
Решение
Объём работы (убрать определённое количество снега) один и тот же. Если машин станет в 3 раза больше, то они справятся в 3 раза быстрее.
Ответ
Обратно пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
е) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: цена товара и его количество при определённой сумме покупки.
Решение
Сумма покупки равна цене, умноженной на количество, и она постоянна. Если цена увеличится в 2 раза, то на ту же сумму можно купить в 2 раза меньше товара.
Ответ
Обратно пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
ж) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: возраст человека и его рост.
Решение
С возрастом рост увеличивается, но не во столько же раз: человек в 20 лет не вдвое выше, чем в 10 лет, а после юности рост почти не меняется.
Ответ
Не является пропорциональной
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
з) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: площадь квадрата и длина его стороны.
Решение
Площадь квадрата \(S = a \cdot a\). Если сторону увеличить в 2 раза, то площадь увеличится в \(2 \cdot 2 = 4\) раза, а не в 2 раза. Например, при \(a = 1\) см площадь \(1\) см², при \(a = 2\) см — \(4\) см².
Ответ
Не является пропорциональной
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
и) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: высота прямоугольного параллелепипеда и его объём при постоянной площади основания.
Решение
Объём параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту: \(V = S \cdot h\). При постоянной площади основания увеличение высоты в несколько раз увеличивает объём во столько же раз.
Ответ
Прямо пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
к) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: урожайность зерна с 1 га и масса зерна при постоянной площади посева.
Решение
Масса зерна равна урожайности с 1 га, умноженной на площадь посева. При той же площади вдвое большая урожайность даёт вдвое больше зерна.
Ответ
Прямо пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
л) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: множители при данном произведении.
Решение
Произведение двух множителей постоянно. Если один множитель увеличить в несколько раз, то другой придётся уменьшить во столько же раз: \(12 = 2 \cdot 6 = 4 \cdot 3\).
Ответ
Обратно пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
м) Определить, какая зависимость между величинами — прямо пропорциональная, обратно пропорциональная или непропорциональная: делимое и делитель при данном частном.
Решение
Делимое равно частному, умноженному на делитель. При постоянном частном увеличение делителя в несколько раз увеличивает делимое во столько же раз: \(12 : 4 = 3\), \(24 : 8 = 3\).
Ответ
Прямо пропорциональная
Почему так
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, и обратно пропорциональны, если другая во столько же раз уменьшается.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Математика. 6 класс» (Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, Л. А. Александрова, С. И. Шварцбурд; Просвещение, 2024).