Величины прямо пропорциональны. Одну из них увеличили в 3 раза. Что произошло с другой?

Увеличилась в 3 раза

Уменьшилась в 3 раза

Какие величины обратно пропорциональны?

Скорость и время движения на одном и том же пути

Число одинаковых насосов и время, за которое они наполнят бассейн

Цена товара и его количество, купленное на одну и ту же сумму

Возраст котёнка и его масса

В таблице x = 1; 2; 4, y = 24; 12; 6. Какая это зависимость?

Не пропорциональная

Прямая и обратная пропорциональность

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Пропорция

Коротко о главном

Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз; у них постоянно отношение. Величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая во столько же раз уменьшается; у них постоянно произведение.

\dfrac{y}{x} = \text{const} \quad \text{(прямая)}, \qquad x \cdot y = \text{const} \quad \text{(обратная)}

Подробное объяснение

Купить вдвое больше — заплатить вдвое больше

Один батон хлеба стоит 50 р. Два батона — 100 р., четыре — 200 р. Взяли в 2 раза больше батонов — заплатили в 2 раза больше, взяли в 3 раза меньше — заплатили в 3 раза меньше. Такие величины называют прямо пропорциональными.

Главное свойство: отношения соответствующих значений прямо пропорциональных величин равны. Стоимость, делённая на число батонов, всегда даёт одну и ту же цену: $$100 : 2 = 200 : 4 = 50$$ . Прямо пропорциональны путь и время при постоянной скорости, количество товара и его стоимость при одной цене, сторона квадрата и его периметр.

Ехать быстрее — доехать скорее

До дачи 120 км. Со скоростью 30 км/ч дорога займёт 4 ч, со скоростью 60 км/ч — 2 ч, со скоростью 120 км/ч — 1 ч. Скорость увеличилась в 2 раза — время в 2 раза уменьшилось. Такие величины называют обратно пропорциональными.

Их свойство: произведения соответствующих значений равны. Здесь произведение скорости на время — это весь путь: $30 \cdot 4 = 60 \cdot 2 = 120 \cdot 1 = 120$ . Обратно пропорциональны скорость и время на одном пути, цена и количество товара на одну сумму, число одинаковых работников и время на одну работу.

Две таблицы. Слева масса 1, 2, 4 кг и стоимость 150, 300, 600 р. — обе строки растут в 2 раза. Справа скорость 30, 60, 120 км/ч и время 4, 2, 1 ч — скорость растёт в 2 раза, время уменьшается в 2 раза. — При прямой пропорциональности обе величины меняются в одну сторону и отношение постоянно, при обратной — в разные стороны и постоянно произведение.

Не всё, что растёт вместе, пропорционально

Котёнок с возрастом тяжелеет, но в 3 месяца он не втрое тяжелее, чем в 1 месяц. Площадь квадрата растёт вместе со стороной, но при удвоении стороны площадь увеличивается в 4 раза, а не в 2. Такие величины не пропорциональны. Проверка всегда одна: увеличьте одну величину в несколько раз и посмотрите, изменится ли другая во столько же раз.

Пропорция в задачах

Раз отношения или произведения равны, из двух пар значений можно составить пропорцию и найти неизвестное значение.

Для прямой пропорциональности отношения пишут «в одном направлении»:

\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}.

Для обратной пропорциональности одно из отношений переворачивают:

\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}.

В краткой записи условия удобно ставить стрелки, как в учебнике. Прямую зависимость обозначают одинаково направленными стрелками (обе вниз), обратную — противоположно направленными (одна вниз, другая вверх). По стрелкам и читают пропорцию: отношение у первой величины берут по её стрелке, у второй — по её.

Как решать задачи

Запишите условие кратко: две строки (два случая) и два столбца (две величины). Неизвестное обозначьте буквой $$x$$ .
Спросите себя: «Если первую величину увеличить в 2 раза, что будет со второй?»
Увеличится в 2 раза — зависимость прямая, ставьте одинаково направленные стрелки. Уменьшится в 2 раза — обратная, ставьте противоположно направленные. Изменится иначе — пропорцию составлять нельзя.
Составьте пропорцию: при прямой зависимости отношения берутся в одном порядке, при обратной одно отношение переворачивают.
Найдите неизвестный член пропорции: произведение средних членов разделите на известный крайний (или наоборот).
Проверьте ответ смыслом: при прямой зависимости обе величины меняются в одну сторону, при обратной — в разные.

Разобранные примеры

База

Бензин на дорогу

Условие

Автомобиль на 150 км пути расходует 12 л бензина. Сколько бензина понадобится на 250 км, если расход не меняется?

Дано

150 км — 12 л
250 км — $$x$$ л

Найти

$$x$$

Решение

Чем длиннее путь, тем больше бензина, во столько же раз — зависимость прямая. Составим пропорцию:

\dfrac{150}{250} = \dfrac{12}{x}.

$x = \dfrac{250 \cdot 12}{150} = \dfrac{3000}{150} = 20$ (л).

Ответ: 20 л.

Средний

Карандаши по коробкам

Условие

Карандаши разложили в 15 коробок по 12 штук. Сколько понадобится коробок, если раскладывать те же карандаши по 20 штук?

Дано

по 12 штук — 15 коробок
по 20 штук — $$x$$ коробок

Найти

$$x$$

Решение

Карандашей одно и то же количество. Чем больше карандашей в коробке, тем меньше коробок — зависимость обратная. Одно отношение переворачиваем:

\dfrac{12}{20} = \dfrac{x}{15}.

$x = \dfrac{12 \cdot 15}{20} = 9$ (коробок).

Проверка: $15 \cdot 12 = 180$ и $9 \cdot 20 = 180$ — карандашей столько же.

Ответ: 9 коробок.

Сложный

Сколько дней осталось работать

Условие

За 4 дня бригада уложила 16 % всей плитки. Сколько ещё дней понадобится бригаде, чтобы уложить остальную плитку, если работать так же?

Дано

4 дня — 16 % плитки; остальная плитка — $$x$$ дней

Найти

$$x$$

Решение

$$100 - 16 = 84$$ (%) — плитки осталось уложить.
Бригада работает одинаково, поэтому число дней и доля сделанной работы прямо пропорциональны:

\dfrac{4}{x} = \dfrac{16}{84}, \qquad x = \dfrac{4 \cdot 84}{16} = 21 \text{ (дн.)}.

Проверка: за день бригада укладывает $$16 : 4 = 4$$ % плитки, а $$84 : 4 = 21$$ день.

Ответ: 21 день.

Типичные ошибки

Считают пропорциональными любые величины, которые растут вместе

Почему неверно

Рост ребёнка увеличивается с возрастом, площадь квадрата — со стороной. Но в 10 лет человек не вдвое выше, чем в 5, а площадь квадрата при удвоении стороны становится в 4 раза больше. Если составить для таких величин пропорцию, ответ получится неверным.

Как правильно

Проверяйте именно «во столько же раз»: увеличьте одну величину, например, в 2 раза. Пропорциональными величины будут, только если другая изменилась ровно в 2 раза.

Для обратной зависимости составляют пропорцию как для прямой

Почему неверно

«3 насоса — 8 ч, 6 насосов — $$x$$ ч». Ученик пишет $\dfrac{3}{6} = \dfrac{8}{x}$ и получает 16 ч: насосов стало больше, а работать они будут дольше. Это противоречит смыслу задачи.

Как правильно

Сначала определите вид зависимости и поставьте стрелки. Зависимость обратная, поэтому одно отношение переворачивают: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{x}{8}$ , $$x = 4$$ ч. Проверка произведением: $3 \cdot 8 = 6 \cdot 4 = 24$ .

Путают «во столько же раз» и «на столько же»

Почему неверно

Брату 5 лет, сестре 8. Через 5 лет брату будет 10 — его возраст удвоился. Ученик решает, что сестре тогда будет 16. Но возраст обоих увеличивается на одно и то же число лет, а не в одно и то же число раз: сестре будет 13.

Как правильно

Пропорциональность — это про умножение и деление («в 2 раза»), а не про сложение («на 5»). Если величины меняются на одинаковое число, пропорцию составлять нельзя.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

4 одинаковые тетради стоят 120 р. Сколько стоят 10 таких тетрадей? Решите с помощью пропорции.

Подсказка

Чем больше тетрадей, тем больше стоимость, во столько же раз. Зависимость прямая.

Решение

Дано

4 тетради — 120 р.
10 тетрадей — $$x$$ р

Найти

$$x$$

Количество тетрадей и их стоимость прямо пропорциональны: во сколько раз больше тетрадей, во столько раз больше стоимость. Отношения соответствующих значений равны:

\dfrac{4}{10} = \dfrac{120}{x}.

По основному свойству пропорции $x = \dfrac{10 \cdot 120}{4} = 300$ (р.).

Ответ

300 р.

База Задача 2

Определите, прямо пропорциональны, обратно пропорциональны или не пропорциональны величины: а) масса купленных яблок и их стоимость при одной цене; б) скорость пешехода и время на одну и ту же дорогу; в) возраст ребёнка и его рост.

Подсказка

Увеличьте одну величину в 2 раза и посмотрите, что произойдёт с другой.

Решение

а) Если купить в 2 раза больше яблок, заплатить придётся в 2 раза больше — прямая пропорциональность.

б) Если идти в 2 раза быстрее, на ту же дорогу уйдёт в 2 раза меньше времени — обратная пропорциональность.

в) Ребёнок растёт с возрастом, но в 10 лет он не в 2 раза выше, чем в 5 лет, — величины не пропорциональны.

Ответ

а) Прямо пропорциональны; б) обратно пропорциональны; в) не пропорциональны

Средний Задача 3

5 одинаковых насосов выкачивают воду из котлована за 12 ч. За сколько часов выкачают ту же воду 6 таких насосов?

Подсказка

Насосов больше — времени нужно меньше, во столько же раз. Зависимость обратная.

Решение

Дано

5 насосов — 12 ч
6 насосов — $$x$$ ч

Найти

$$x$$

Число насосов и время работы обратно пропорциональны, поэтому отношение чисел насосов равно обратному отношению времён:

\dfrac{5}{6} = \dfrac{x}{12}.

$x = \dfrac{5 \cdot 12}{6} = 10$ (ч).

Проверка: произведения равны, $5 \cdot 12 = 6 \cdot 10 = 60$ .

Ответ

10 ч

Средний Задача 4

Из 15 кг свежих яблок получают 2,4 кг сушёных. Сколько сушёных яблок получится из 40 кг свежих?

Подсказка

Во сколько раз больше свежих яблок, во столько раз больше и сушёных.

Решение

Дано

15 кг свежих — 2,4 кг сушёных
40 кг свежих — $$x$$ кг сушёных

Найти

$$x$$

Масса свежих и масса сушёных яблок прямо пропорциональны:

\dfrac{15}{40} = \dfrac{2{,}4}{x}.

$x = \dfrac{40 \cdot 2{,}4}{15} = \dfrac{96}{15} = 6{,}4$ (кг).

Ответ

6,4 кг

Сложный Задача 5

Бригада из 8 рабочих может выполнить заказ за 15 дней. Через 5 дней работы к бригаде присоединились ещё 2 рабочих такой же квалификации. За сколько дней всего будет выполнен заказ?

Подсказка

Сначала узнайте, за сколько дней 8 рабочих сделали бы оставшуюся часть работы, а потом — сколько дней на неё уйдёт у 10 рабочих.

Решение

Дано

8 рабочих — 15 дней на весь заказ; через 5 дней рабочих стало 10

Найти

общее время

$$15 - 5 = 10$$ (дн.) — столько ещё работали бы 8 рабочих, чтобы закончить заказ.
Оставшуюся работу будут делать $$8 + 2 = 10$$ рабочих. Число рабочих и время обратно пропорциональны:

\dfrac{8}{10} = \dfrac{x}{10}, \quad x = 8 \text{ (дн.)}.

$$5 + 8 = 13$$ (дн.) — всего займёт заказ.

Проверка: всю работу можно измерить в «рабочих днях» — $8 \cdot 15 = 120$ . Сделано $8 \cdot 5 + 10 \cdot 8 = 40 + 80 = 120$ . Верно.

Ответ

13 дней

Сложный Задача 6

Величины заданы таблицами. Таблица 1: $$x$$ = 3; 6; 9, $$y$$ = 7; 14; ?. Таблица 2: $$a$$ = 2; 5; 8, $$b$$ = 20; 8; ?. Определите вид зависимости в каждой таблице и найдите пропущенные значения.

Подсказка

Проверьте, что постоянно — отношение $$y : x$$ или произведение $a \cdot b$ .

Решение

Таблица 1: $$7 : 3$$ и $$14 : 6$$ — равные отношения, $\dfrac{7}{3} = \dfrac{14}{6}$ ; при увеличении $$x$$ в 2 раза $$y$$ тоже увеличился в 2 раза. Зависимость прямая. $$x$$ вырос от 3 до 9 в 3 раза, значит, $y = 7 \cdot 3 = 21$ .

Таблица 2: $2 \cdot 20 = 40$ и $5 \cdot 8 = 40$ — произведения равны, зависимость обратная. Тогда $8 \cdot b = 40$ , $$b = 40 : 8 = 5$$ .

Ответ

Таблица 1 — прямая пропорциональность, 21; таблица 2 — обратная пропорциональность, 5

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите чек из магазина или ценник: «Одна булочка — 30 р. Сколько стоят две? Пять?» Ребёнок увидит, что стоимость растёт во столько же раз, что и число булочек, — это прямая пропорциональность. Потом разделите 12 конфет поровну между 2, 3, 4 и 6 людьми: чем больше людей, тем меньше конфет у каждого, а «людей × конфет» всегда 12 — это обратная пропорциональность. Попросите записать оба случая таблицей и найти, что в ней постоянно.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем больше людей красят забор, тем быстрее они закончат. Какая это зависимость? 2) Почему рост и возраст человека не пропорциональны? 3) 2 кг яблок стоят 180 р. Сколько стоят 6 кг?

На что обратить внимание. Главное — не составлять пропорцию «на автомате». Перед каждой задачей пусть ребёнок вслух ответит на вопрос: «Если одну величину увеличить вдвое, что станет с другой?» И приучайте к проверке смыслом: если насосов больше, а работают они дольше, где-то ошибка.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 20	3.63, 3.64, 3.65, 3.66, 3.67, 3.68, 3.69, 3.70, 3.71, 3.72, 3.73, 3.74, 3.75, 3.76, 3.77, 3.78, 3.79, 3.80, 3.81, 3.82, 3.83, 3.84, 3.85, 3.86, 3.87, 3.88, 3.89, 3.90, 3.91, 3.92, 3.93, 3.94, 3.95, 3.96, 3.97, 3.98, 3.99, 3.100