Упражнение 3.136 к § 22

Могут. Проведём прямую m и отрезок AB, который пересекает m наклонно, в точке K. Точка K лежит на оси и симметрична сама себе, поэтому симметричный отрезок \(A_1B_1\) тоже проходит через K. Отрезки AB и \(A_1B_1\) пересекаются в точке K на оси — получается фигура, похожая на букву «Х».

Если же отрезок не доходит до оси, симметричный ему отрезок лежит по другую сторону, и общих точек нет. А если отрезок перпендикулярен оси и пересекает её (или лежит на оси), отрезки накладываются друг на друга на одной прямой.

Пусть O — центр симметрии, AB — отрезок, \(A_1B_1\) — симметричный ему.

Если отрезок AB не проходит через O, то \(A_1B_1\) получается поворотом на \(180^\circ\) и лежит «напротив»: либо на параллельной прямой, либо на той же прямой, но по другую сторону от O. Общих точек нет.

Если отрезок AB проходит через O, то и \(A_1B_1\) проходит через O и лежит на той же прямой. Тогда у отрезков есть общая часть, содержащая точку O (если O — середина AB, отрезки совпадают). Но пересечься «крест-накрест» под углом они не могут: оба лежат на одной прямой.