Коротко о главном
Две точки симметричны относительно прямой (оси симметрии), если они лежат на одном перпендикуляре к ней по разные стороны на равных расстояниях. Две точки симметричны относительно точки O (центра симметрии), если O — середина отрезка между ними. Симметричные фигуры равны.
Подробное объяснение
Кляксы и зеркала
Капните краской на лист бумаги и сложите его пополам. Развернёте — получится узор из двух одинаковых половинок, как крылья бабочки. Линия сгиба — это ось симметрии: каждая капля на одной половине имеет «близнеца» на другой. Похожее мы видим каждый день в зеркале — это зеркальная симметрия, симметрия относительно плоскости.
Симметрия относительно прямой
Проведём прямую m и отметим точку A. Опустим из A перпендикуляр на прямую m и продолжим его за прямую на такое же расстояние. Получим точку A′. Точки A и A′ называют симметричными относительно прямой m, а прямую m — осью симметрии.
Главное в определении — два условия:
- отрезок AA′ перпендикулярен оси;
- ось делит этот отрезок пополам: от A до оси столько же, сколько от оси до A′.
Если точка лежит на самой оси, она симметрична сама себе.
Чтобы построить фигуру, симметричную данной, отражают каждую её вершину и соединяют полученные точки в том же порядке. Если перегнуть лист по оси, фигура и её отражение совпадут. Поэтому фигуры, симметричные относительно прямой, равны: у них одинаковые стороны, углы, периметр и площадь.
Говорят, что сама фигура симметрична относительно прямой, если эта прямая делит её на две симметричные половины. У прямоугольника две оси симметрии, у квадрата — четыре, у окружности — бесконечно много (любой диаметр).
Симметрия относительно точки
Отметим точку O и точку A. Проведём прямую AO и за точкой O отложим отрезок OA′, равный AO. Точки A и A′ называют симметричными относительно точки O, а O — центром симметрии. Проще говоря, O — середина отрезка AA′.
Фигура, симметричная данной относительно точки, получается поворотом на 180° вокруг центра — как будто лист с рисунком повернули «вверх ногами», воткнув булавку в точку O. Поэтому центрально-симметричные фигуры тоже равны.
У квадрата, прямоугольника и окружности есть центр симметрии — точка пересечения диагоналей или центр окружности. У равностороннего треугольника три оси симметрии, а центра симметрии нет.
Как решать задачи
- Определите, какая симметрия нужна: относительно прямой (ось) или относительно точки (центр).
- Для оси: из каждой вершины фигуры проведите перпендикуляр к оси, измерьте расстояние до оси и отложите столько же по другую сторону.
- Для центра: через каждую вершину и центр O проведите прямую и за точкой O отложите такое же расстояние.
- Соедините построенные точки в том же порядке, что и вершины исходной фигуры.
- Если в задаче нужны длины, периметр или площадь, пользуйтесь тем, что симметричные фигуры равны.
- На координатном луче центр симметрии — середина отрезка: отложите от центра такое же расстояние в другую сторону.
- Проверьте: перегибание по оси или поворот на 180° вокруг центра должен совмещать фигуры.
Разобранные примеры
Отрезок на клетчатой бумаге
На клетчатой бумаге проведена вертикальная прямая m по линии сетки. Точка A — на 2 клетки левее прямой m, точка B — на 5 клеток левее прямой m и на 3 клетки ниже точки A. Постройте отрезок A′B′, симметричный отрезку AB относительно прямой m.
Линии сетки, идущие поперёк прямой m, ей перпендикулярны, поэтому симметричную точку ищем в той же горизонтальной строке.
Точка A′ — на 2 клетки правее прямой m, на одной высоте с A.
Точка B′ — на 5 клеток правее прямой m, на одной высоте с B, то есть на 3 клетки ниже A′.
Соединяем A′ и B′. Отрезок A′B′ равен отрезку AB, но «наклонён» в другую сторону.
Центр симметрии на координатном луче
На координатном луче отмечены точки P(3,2) и O(5). Найдите координату точки P′, симметричной точке P относительно точки O.
Центр симметрии — середина отрезка PP′.
-
\(5 - 3{,}2 = 1{,}8\) — расстояние от P до O.
-
Откладываем такое же расстояние вправо от O: \(5 + 1{,}8 = 6{,}8\).
Проверка: \((3{,}2 + 6{,}8) : 2 = 10 : 2 = 5\) — это координата точки O.
Отрезок и центр на одной прямой
Отрезок AB равен 5 см. Точка O лежит на продолжении отрезка AB за точку B, причём BO = 2 см. Точки A′ и B′ симметричны точкам A и B относительно точки O. Найдите длины отрезков AA′ и A′B′.
- AB = 5 см
- BO = 2 см
- O — центр симметрии
- AA′
- A′B′
-
\(5 + 2 = 7\) (см) — длина AO.
-
\(7 \cdot 2 = 14\) (см) — длина AA′, потому что O — середина AA′.
-
Отрезок A′B′ симметричен отрезку AB относительно точки O, а симметричные фигуры равны, поэтому \(A'B' = AB = 5\) см.
Проверим по-другому: \(BB' = 2 \cdot 2 = 4\) см, точки на прямой стоят в порядке A, B, O, B′, A′, и \(A'B' = AA' - AB - BB' = 14 - 5 - 4 = 5\) см.
Типичные ошибки
Если ось наклонная, ученик часто сдвигает точку просто вправо на столько же клеток, сколько было до оси по горизонтали. Тогда отрезок AA′ не перпендикулярен оси, и при перегибании листа точки не совпадут.
Сначала проведите через точку прямую, перпендикулярную оси (чертёжным угольником), и только по ней откладывайте равное расстояние. На клетчатой бумаге при оси по диагонали клеток точка «переезжает» по другой диагонали клеток.
Строя фигуру, симметричную относительно точки, ученик отражает её «как в зеркале» — меняет местами левое и правое, но верх остаётся верхом. Это симметрия относительно прямой, а не точки.
При центральной симметрии каждую точку переносят через центр O на такое же расстояние по прямой, проходящей через O. Фигура переворачивается и «вверх ногами»: это поворот на 180°.
Если перегнуть прямоугольник, который не является квадратом, по диагонали, половинки не совпадут — уголки будут торчать. Поэтому у такого прямоугольника не четыре оси, а две.
Проверяйте ось перегибанием: половинки должны совпасть полностью. У прямоугольника оси проходят через середины противоположных сторон, а диагонали становятся осями только у квадрата.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Точки A и B симметричны относительно прямой m. Что из этого верно?
Показать ответ
Ответ: Б) Отрезок AB перпендикулярен прямой m и делится ею пополам
Симметричные точки лежат на одном перпендикуляре к оси по разные стороны от неё на равных расстояниях.
-
Точка находится на расстоянии 4,5 см от оси симметрии. Сколько сантиметров между этой точкой и симметричной ей точкой?
Показать ответ
Ответ: 9
Расстояние до оси откладывают по обе стороны: \(4{,}5 + 4{,}5 = 9\) см.
-
У каких фигур есть центр симметрии?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Квадрат; Б) Окружность; Г) Прямоугольник
Квадрат, окружность и прямоугольник совмещаются сами с собой при повороте на 180° вокруг своего центра, а равносторонний треугольник после такого поворота «смотрит» вершиной в другую сторону.
-
Сколько осей симметрии у квадрата?
Показать ответ
Ответ: 4
Две оси проходят через середины противоположных сторон и две — по диагоналям.
-
На какой угол нужно повернуть фигуру вокруг центра симметрии, чтобы она совместилась с центрально-симметричной ей фигурой?
Показать ответ
Ответ: Б) 180°
Центрально-симметричные фигуры совмещаются поворотом на 180° вокруг центра симметрии.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Точка A находится на расстоянии 3,6 см от прямой m. Точка A′ симметрична точке A относительно прямой m. Найдите длину отрезка AA′.
Подсказка
Прямая m делит отрезок AA′ пополам.
Решение
Симметричные точки лежат на одном перпендикуляре к оси и на равных расстояниях от неё. Значит, от A до прямой m — 3,6 см и от прямой m до A′ — тоже 3,6 см.
\(AA' = 3{,}6 + 3{,}6 = 7{,}2\) (см).
Ответ
У каких из печатных букв А, Б, Ж, З, Н, Ф, Ш есть вертикальная ось симметрии?
Подсказка
Мысленно поставьте зеркало вертикально посередине буквы.
Решение
Проводим через середину каждой буквы вертикальную прямую и проверяем, совпадут ли половинки при перегибании.
А, Ж, Н, Ф, Ш — левая и правая половины одинаковые. У Б верхняя перекладина и «животик» только с одной стороны. У З обе дуги смотрят вправо; у неё есть горизонтальная ось, но не вертикальная.
Ответ
На координатном луче отмечены точки A(3,4) и C(6,6). Найдите координату точки B, симметричной точке A относительно точки C.
Подсказка
Точка C — середина отрезка AB.
Решение
Точка C — центр симметрии, поэтому \(CB = AC\).
-
\(6{,}6 - 3{,}4 = 3{,}2\) — расстояние от A до C.
-
Точка B лежит по другую сторону от C, то есть правее: \(6{,}6 + 3{,}2 = 9{,}8\).
Проверка: середина отрезка от 3,4 до 9,8 — это \((3{,}4 + 9{,}8) : 2 = 6{,}6\), то есть точка C.
Ответ
Стороны треугольника равны 4 см, 5,5 см и 7 см. Построили треугольник, симметричный ему относительно некоторой прямой. Найдите периметр построенного треугольника.
Подсказка
Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
Решение
- стороны треугольника 4 см
- 5,5 см
- 7 см; второй треугольник симметричен ему относительно прямой
- периметр второго треугольника
Симметричные фигуры равны, значит, у второго треугольника такие же стороны: 4 см, 5,5 см и 7 см.
\(4 + 5{,}5 + 7 = 16{,}5\) (см) — периметр.
Ответ
Прямоугольник имеет стороны 8 см и 5 см. Построили прямоугольник, симметричный ему относительно прямой, на которой лежит сторона длиной 8 см. Вместе два прямоугольника образуют новый прямоугольник. Найдите его периметр и площадь.
Подсказка
Сторона 8 см лежит на оси и остаётся на месте, а сторона 5 см «удваивается».
Решение
- прямоугольник 8 см × 5 см
- ось симметрии проходит по стороне 8 см
- периметр и площадь фигуры из двух прямоугольников
Точки стороны длиной 8 см лежат на оси — они симметричны сами себе. Симметричный прямоугольник равен исходному и прилегает к нему по этой стороне с другой стороны оси.
-
\(5 + 5 = 10\) (см) — вторая сторона нового прямоугольника.
-
\((8 + 10) \cdot 2 = 36\) (см) — периметр.
-
\(8 \cdot 10 = 80\) (см²) — площадь.
Проверка площади: два равных прямоугольника по \(8 \cdot 5 = 40\) см², вместе \(80\) см².
Ответ
На координатном луче точка A имеет координату 2,5. Точка A₁ симметрична A относительно точки O(6), а точка B симметрична A₁ относительно точки C(12). Найдите координату точки B и длину отрезка AB.
Подсказка
Постройте точки по очереди — сначала A₁, потом B.
Решение
-
\(6 - 2{,}5 = 3{,}5\) — расстояние от A до O.
-
\(6 + 3{,}5 = 9{,}5\) — координата точки A₁ (она правее O на столько же).
-
\(12 - 9{,}5 = 2{,}5\) — расстояние от A₁ до C.
-
\(12 + 2{,}5 = 14{,}5\) — координата точки B.
-
\(14{,}5 - 2{,}5 = 12\) — длина отрезка AB.
Интересно, что \(AB = 12\) ровно вдвое больше расстояния между центрами O и C: \(2 \cdot (12 - 6) = 12\). Это верно при любом положении точки A левее O.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Сложите лист пополам, капните краской или гуашью на одну половину и прижмите вторую — получится симметричная «бабочка», сгиб — ось симметрии. Покажите, что каждая точка рисунка и её отпечаток одинаково удалены от сгиба. Для центральной симметрии нарисуйте на листе фигурку, проткните его карандашом в одной точке и поверните лист на пол-оборота: фигурка окажется на месте симметричной.
Вопросы для проверки понимания: 1) Как построить точку, симметричную данной относительно прямой? 2) Сколько осей симметрии у квадрата и у прямоугольника, который не квадрат? 3) Есть ли центр симметрии у буквы Н? У буквы Т?
На что обратить внимание. Главная трудность — перпендикуляр к оси: без угольника дети откладывают расстояние наискосок. Пусть ребёнок проверяет построение перегибанием листа или калькой. Полезно поискать симметрию вокруг: окна, листья, снежинки, логотипы машин.
Где в учебниках
| Учебник | Параграф | Упражнения |
|---|---|---|
| Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков) | § 22 | 3.128, 3.129, 3.130, 3.131, 3.132, 3.133, 3.134, 3.135, 3.136, 3.137, 3.138, 3.139, 3.140, 3.141, 3.142, 3.143, 3.144, 3.145, 3.146, 3.147, 3.148, 3.149, 3.150, 3.151, 3.152, 3.153, 3.154, 3.155, 3.156, 3.157, 3.158, 3.159, 3.160, 3.161 |