Задача 1
На рисунке шахматная доска 8 × 8 клеток. Есть ли у поля шахматной доски оси симметрии; центр симметрии?
Решение
Если не учитывать раскраску, поле — квадрат: у него 4 оси симметрии (две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон) и центр симметрии — точка пересечения диагоналей.
Учтём раскраску. Угловые клетки a1 и h8 — тёмные, a8 и h1 — светлые.
Прямая через середины сторон (например, вертикальная) переводит a1 в h1 — тёмную клетку в светлую. Эти прямые — не оси раскрашенной доски.
Диагональ a1–h8 состоит из клеток одного цвета; при отражении относительно неё клетка переходит в клетку того же цвета. Это ось. Так же и вторая диагональ.
Центр доски переводит a1 в h8, a8 в h1 — цвета сохраняются. Центр симметрии есть.
Ответ
У квадрата 4 оси и центр симметрии; раскраска шахматной доски сохраняет только симметрию относительно диагоналей и центра.
Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».