Задача 1
Расставить вместо звёздочек цифры от 1 до 9 так, чтобы выполнялось равенство ** · * = *** = * · ** (двузначное · однозначное = трёхзначное = однозначное · двузначное).
Решение
Звёздочек 9 — столько же, сколько цифр от 1 до 9, поэтому каждая цифра используется ровно один раз.
Трёхзначное число должно делиться на два разных однозначных числа так, чтобы частные были двузначными, и все девять цифр не повторялись. Перебирая произведения двузначных чисел на однозначные, находим:
\(39 \cdot 4 = 156\) и \(156 : 2 = 78\), значит, \(39 \cdot 4 = 156 = 2 \cdot 78\). Цифры 3, 9, 4, 1, 5, 6, 2, 7, 8 — все разные.
Ещё одно решение: \(29 \cdot 6 = 174 = 3 \cdot 58\) (цифры 2, 9, 6, 1, 7, 4, 3, 5, 8). Другие получаются из этих перестановкой частей (\(78 \cdot 2 = 156 = 4 \cdot 39\), \(58 \cdot 3 = 174 = 6 \cdot 29\)).
Ответ
Каждую из девяти цифр нужно использовать ровно один раз, а трёхзначное число — разложить на произведение двумя способами.