Чему равно отношение длины любой окружности к её диаметру?

Радиусу окружности

Оно у каждой окружности своё

Какие утверждения верны?

Диаметр шара равен двум его радиусам

Любое сечение шара плоскостью — квадрат

Площадь круга прямо пропорциональна его радиусу

Радиус круга увеличили в 2 раза. Как изменилась площадь круга?

Увеличилась в 4 раза

Увеличилась в 2 раза

Увеличилась в 3,14 раза

Длина окружности, площадь круга, шар

Коротко о главном

Длина окружности в $\pi$ раз больше её диаметра, $\pi \approx 3{,}14$ (иногда берут $\pi \approx 3\dfrac{1}{7}$ ). Площадь круга равна $\pi$ , умноженному на квадрат радиуса. Шар — тело, все точки поверхности которого (сферы) удалены от центра на радиус.

C = \pi d = 2\pi r, \qquad S = \pi r^2

Подробное объяснение

Сколько ленты нужно на банку

Чтобы обклеить круглую банку лентой ровно в один оборот, можно обернуть её ниткой, распрямить нитку и измерить линейкой. Длина нитки и будет длиной окружности дна. Если так измерить много разных банок, кружек и тарелок, обнаружится удивительное: длина окружности всегда чуть больше трёх её диаметров, примерно в 3,14 раза.

Окружность с радиусом r и диаметром d, рядом формулы C = πd = 2πr и S = πr². Ниже окружность распрямлена в отрезок, в нём укладываются три диаметра и ещё 0,14 диаметра. — Длина любой окружности примерно в 3,14 раза больше её диаметра — это число π.

Число пи и длина окружности

Длина окружности прямо пропорциональна её диаметру: во сколько раз больше диаметр, во столько же раз больше и длина. Отношение длины окружности к диаметру у всех окружностей одно и то же. Это число обозначают греческой буквой $\pi$ (читается «пи»).

Если длина окружности $$C$$ , а диаметр $$d$$ , то $C : d = \pi$ , значит,

C = \pi d.

Диаметр равен двум радиусам, $$d = 2r$$ , поэтому ту же формулу пишут и через радиус:

C = 2\pi r.

Точно записать число $\pi$ десятичной дробью нельзя: его цифры не кончаются и не повторяются, $\pi = 3{,}141592…$ В задачах берут приближение. Чаще всего $\pi \approx 3{,}14$ (округление до сотых). Иногда удобнее $\pi \approx 3\dfrac{1}{7} = \dfrac{22}{7}$ : если диаметр делится на 7, вычисление получается в уме. Какое значение взять, обычно сказано в условии.

Длина окружности — это длина, поэтому она измеряется в тех же единицах, что и радиус: см, м, км.

Площадь круга

Разрежем круг радиуса $$r$$ на много одинаковых узких секторов, как пиццу, и сложим их «ёлочкой»: один сектор острием вверх, другой вниз. Получится фигура, очень похожая на прямоугольник. Чем уже секторы, тем ровнее её края. Высота такого «прямоугольника» равна радиусу $$r$$ , а длина — половине длины окружности, то есть $\pi r$ . Его площадь $r \cdot \pi r = \pi r^2$ . Это и есть площадь круга:

S = \pi r^2.

Площадь измеряется в квадратных единицах: см², м². Обратите внимание: площадь круга не пропорциональна радиусу. Если радиус увеличить в 2 раза, площадь вырастет в $2 \cdot 2 = 4$ раза, а длина окружности — только в 2 раза.

Шар и сфера

Футбольный мяч, арбуз, апельсин дают представление о шаре. Поверхность шара называют сферой. Все точки сферы одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий центр с точкой сферы, — радиус шара. Отрезок, который проходит через центр и соединяет две точки сферы, — диаметр шара, он равен двум радиусам. Если разрезать шар плоскостью (как арбуз ножом), в срезе всегда получится круг. Самый большой круг получается, когда разрез проходит через центр: его радиус равен радиусу шара.

Как решать задачи

Определите, что нужно найти: длину окружности (линия, «сколько ленты», «путь колеса») или площадь круга («сколько краски», «сколько места»).
Выпишите, что дано — радиус или диаметр. Если дан диаметр, а нужен радиус, разделите его на 2.
Посмотрите, какое значение $\pi$ требует условие: 3,14, $3\dfrac{1}{7}$ или другое.
Длина окружности: $C = \pi d$ или $C = 2\pi r$ . Площадь круга: сначала возведите радиус в квадрат, потом умножьте на $\pi$ .
Если известна длина окружности, а нужен диаметр, разделите её на $\pi$ : $d = C : \pi$ .
Запишите ответ в нужных единицах: длину — в см или м, площадь — в см² или м². Прикиньте: длина окружности чуть больше трёх диаметров.

Разобранные примеры

База

Длина обруча

Условие

Диаметр гимнастического обруча 90 см. Найдите длину обруча, считая $\pi \approx 3{,}14$ .

Решение

Обруч — это окружность, нужна её длина.

$C = \pi d \approx 3{,}14 \cdot 90 = 282{,}6$ (см).

Прикидка: три диаметра — 270 см, ответ чуть больше. Верно.

Ответ: 282,6 см.

Средний

Круглая клумба

Условие

Радиус круглой клумбы 3,5 м. Сколько квадратных метров земли занимает клумба и сколько метров бордюра нужно, чтобы обложить её по краю? Число $\pi$ считайте равным $3\dfrac{1}{7}$ .

Дано

$$r = 3{,}5$$ м
$\pi \approx 3\dfrac{1}{7} = \dfrac{22}{7}$

Найти

площадь клумбы и длину её края

Решение

$S = \pi r^2 \approx \dfrac{22}{7} \cdot 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 22 \cdot 0{,}5 \cdot 3{,}5 = 38{,}5$ (м²) — площадь клумбы.
$C = 2\pi r \approx 2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot 3{,}5 = 2 \cdot 22 \cdot 0{,}5 = 22$ (м) — длина бордюра.

Значение $3\dfrac{1}{7}$ здесь удобно: 3,5 делится на 7 нацело, $$3{,}5 : 7 = 0{,}5$$ .

Ответ: 38,5 м²; 22 м.

Сложный

Площадь по длине окружности

Условие

Длина круглой беговой дорожки 62,8 м. Найдите площадь круга, который она ограничивает. Число $\pi$ округлите до сотых.

Дано

$$C = 62{,}8$$ м
$\pi \approx 3{,}14$

Найти

$$S$$

Решение

$d = C : \pi \approx 62{,}8 : 3{,}14 = 20$ (м) — диаметр.
$$r = 20 : 2 = 10$$ (м) — радиус.
$S = \pi r^2 \approx 3{,}14 \cdot 10^2 = 314$ (м²) — площадь.

Ответ: 314 м².

Типичные ошибки

В формулу площади подставляют диаметр

Почему неверно

Дан круг диаметром 6 см. Ученик пишет $S = 3{,}14 \cdot 6^2 = 113{,}04$ см². Но в формуле $S = \pi r^2$ стоит радиус, а не диаметр. Площадь получилась в 4 раза больше настоящей.

Как правильно

Сначала найдите радиус: $$r = 6 : 2 = 3$$ см. Потом $S = 3{,}14 \cdot 3^2 = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$ см². Перед подстановкой всегда проверяйте, что дано — радиус или диаметр.

Возводят в квадрат вместе с пи

Почему неверно

В записи $\pi r^2$ в квадрат возводится только радиус. Ученик при $$r = 2$$ считает $(3{,}14 \cdot 2)^2 = 6{,}28^2 \approx 39{,}4$ , а это неверно.

Как правильно

Сначала квадрат радиуса, потом умножение на $\pi$ : $$2^2 = 4$$ , $3{,}14 \cdot 4 = 12{,}56$ . Значит, $S \approx 12{,}56$ (в квадратных единицах).

Путают длину окружности и площадь круга

Почему неверно

На вопрос «сколько сетки нужно на забор вокруг круглого пруда» ученик находит площадь пруда. Но забор идёт по краю, это линия, и нужна длина окружности. Ответ в «м²» на вопрос о длине — верный признак ошибки.

Как правильно

Длина окружности — линия, ответ в см, м: $C = 2\pi r$ . Площадь круга — то, что внутри, ответ в см², м²: $S = \pi r^2$ . Перед решением спросите себя: «Мне нужна обводка или заливка?»

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите длину окружности, радиус которой 5 см. Число $\pi$ округлите до сотых.

Подсказка

Длина окружности $C = 2\pi r$ , $\pi \approx 3{,}14$ .

Решение

$C = 2\pi r \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4$ (см).

Ответ

31,4 см

База Задача 2

Найдите площадь круга, радиус которого 7 дм. Число $\pi$ считайте равным $3\dfrac{1}{7}$ .

Подсказка

Площадь круга $S = \pi r^2$ . Число $3\dfrac{1}{7}$ удобно записать неправильной дробью $\dfrac{22}{7}$ .

Решение

$r^2 = 7 \cdot 7 = 49$ .

$S = \pi r^2 \approx \dfrac{22}{7} \cdot 49 = 22 \cdot 7 = 154$ (дм²).

Ответ

154 дм²

Средний Задача 3

Диаметр колеса тачки 70 см. Какой путь в метрах проедет тачка, если колесо сделает 100 оборотов? Число $\pi$ считайте равным $3\dfrac{1}{7}$ .

Подсказка

За один оборот колесо проходит путь, равный длине его окружности.

Решение

Дано

диаметр колеса 70 см
100 оборотов
$\pi \approx 3\dfrac{1}{7}$

Найти

путь

$C = \pi d \approx \dfrac{22}{7} \cdot 70 = 220$ (см) — путь за один оборот.
$220 \cdot 100 = 22\,000$ (см) — путь за 100 оборотов.
$22\,000$ см $$= 220$$ м.

Ответ

220 м

Средний Задача 4

Длина окружности 25,12 см. Найдите радиус этой окружности и площадь круга, ограниченного ею. Число $\pi$ округлите до сотых.

Подсказка

Из формулы $C = \pi d$ диаметр равен $C : \pi$ .

Решение

Дано

$$C = 25{,}12$$ см
$\pi \approx 3{,}14$

Найти

$$r$$ и $$S$$

$d = C : \pi \approx 25{,}12 : 3{,}14 = 8$ (см) — диаметр.
$$r = 8 : 2 = 4$$ (см) — радиус.
$S = \pi r^2 \approx 3{,}14 \cdot 4^2 = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24$ (см²) — площадь круга.

Проверка: $2 \cdot 3{,}14 \cdot 4 = 25{,}12$ — верно.

Ответ

4 см; 50,24 см²

Сложный Задача 5

Круглую площадку радиусом 6 м окружили дорожкой, а в середине разбили круглую клумбу радиусом 4 м. Найдите площадь кольца между краем клумбы и краем площадки. Число $\pi$ округлите до сотых.

Подсказка

Площадь кольца — это площадь большого круга без площади маленького.

Решение

Дано

радиус площадки 6 м
радиус клумбы 4 м
$\pi \approx 3{,}14$

Найти

площадь кольца

$3{,}14 \cdot 6^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04$ (м²) — площадь всей площадки.
$3{,}14 \cdot 4^2 = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24$ (м²) — площадь клумбы.
$$113{,}04 - 50{,}24 = 62{,}8$$ (м²) — площадь кольца.

Ответ

62,8 м²

Сложный Задача 6

Радиус круга увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась длина окружности? Во сколько раз увеличилась площадь круга?

Подсказка

Подставьте в формулы радиус $$3r$$ вместо $$r$$ .

Решение

Было: $C = 2\pi r$ , $S = \pi r^2$ .

Стало: $C_1 = 2\pi \cdot 3r = 3 \cdot 2\pi r$ — длина окружности выросла в 3 раза.

$S_1 = \pi \cdot (3r)^2 = \pi \cdot 9r^2 = 9 \cdot \pi r^2$ — площадь выросла в 9 раз.

Длина окружности прямо пропорциональна радиусу, а площадь круга — нет: при увеличении радиуса в 3 раза она растёт в $3 \cdot 3 = 9$ раз.

Ответ

Длина окружности — в 3 раза; площадь круга — в 9 раз

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите нитку, кружку и линейку. Пусть ребёнок обернёт кружку ниткой, измерит нитку, затем измерит диаметр кружки и разделит первое на второе. Получится около 3,1–3,2. Повторите с тарелкой или банкой — снова около 3,14. Так ребёнок сам «откроет» число пи. Для площади разрежьте бумажный круг на 8–12 секторов и сложите их «ёлочкой» — получится почти прямоугольник со сторонами $$r$$ и половиной длины окружности.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чему примерно равна длина окружности, если её диаметр 10 см? 2) Почему в формулу площади нельзя подставлять диаметр? 3) Чем шар отличается от сферы?

На что обратить внимание. Главные ошибки — путаница радиуса с диаметром и длины окружности с площадью. Следите, чтобы ребёнок брал то значение $\pi$ , которое указано в задаче, и писал единицы: у длины — см, у площади — см².

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 23	3.162, 3.163, 3.164, 3.165, 3.166, 3.167, 3.168, 3.169, 3.170, 3.171, 3.172, 3.173, 3.174, 3.175, 3.176, 3.177, 3.178, 3.179, 3.180, 3.181, 3.182, 3.183, 3.184, 3.185, 3.186, 3.187, 3.188, 3.189, 3.190, 3.191, 3.192, 3.193