Задача 1
Какое число расположено ближе к единице на координатной прямой — неправильная дробь или дробь, ей обратная?
Решение
Пусть неправильная дробь \(\dfrac{a}{b}\), где \(a > b\). Тогда обратная дробь \(\dfrac{b}{a}\) — правильная. Первая лежит правее 1, вторая — левее.
Расстояние от \(\dfrac{a}{b}\) до 1 равно \(\dfrac{a}{b} - 1 = \dfrac{a - b}{b}\), а от \(\dfrac{b}{a}\) до 1 равно \(1 - \dfrac{b}{a} = \dfrac{a - b}{a}\).
Числители одинаковые, а знаменатель \(a\) больше \(b\), поэтому \(\dfrac{a - b}{a} < \dfrac{a - b}{b}\): обратная дробь ближе к 1.
Например, \(\dfrac{3}{2}\) отстоит от 1 на \(\dfrac{1}{2}\), а \(\dfrac{2}{3}\) — на \(\dfrac{1}{3}\).
Если же неправильная дробь равна 1 (например, \(\dfrac{5}{5}\)), то обратная ей тоже равна 1 — обе лежат в одной точке.
Ответ
Из двух дробей с равными числителями меньше та, у которой знаменатель больше, поэтому расстояние до 1 у обратной дроби меньше.
Подробнее — в теме «Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая».