Коротко о главном
Числа со знаком «+» называют положительными, со знаком «−» — отрицательными. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. На координатной прямой положительные числа лежат правее начала отсчёта \(O\), отрицательные — левее; число, которое показывает положение точки, называют её координатой.
Подробное объяснение
Когда натуральных чисел не хватает
Натуральными и дробными числами удобно записывать результаты счёта и измерений: в классе 27 учеников, пакет молока весит 0,9 кг. Но посмотрите на уличный термометр. Летом столбик поднимается выше отметки 0, и мы говорим «20° тепла». Зимой он опускается ниже нуля — «15° мороза». Одним числом 15 тут не обойтись: нужно ещё показать, в какую сторону от нуля мы ушли.
Для этого перед числом ставят знак. Температуру выше нуля пишут со знаком «плюс»: \(+20\)° или просто \(20\)°. Температуру ниже нуля — со знаком «минус»: \(-15\)°.
Правило
Числа со знаком «+» называют положительными: \(+3\), \(+5\), \(+2{,}7\). Знак «+» перед положительным числом обычно не пишут: \(+3\) и \(3\) — одно и то же число.
Числа со знаком «−» называют отрицательными: \(-3\), \(-4{,}2\), \(-\dfrac{1}{4}\).
Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Оно служит границей между ними.
Ещё два названия, которые часто встречаются в заданиях:
- неотрицательные числа — все положительные числа и нуль;
- неположительные числа — все отрицательные числа и нуль.
Читают так: \(-4{,}2\) — «минус четыре целых две десятых», \(+5\) — «плюс пять». Название знака по падежам не склоняется: «икс равен минус трём».
Координатная прямая
Возьмём прямую и отметим на ней точку \(O\) — начало отсчёта. Выберем единичный отрезок (например, 1 клетку или 1 см) и направление: обычно положительным считают направление вправо и отмечают его стрелкой. Прямую, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и направление, называют координатной прямой.
Положительные числа отмечают правее точки \(O\), отрицательные — левее. Точка \(O\) изображает число 0. Число, которое показывает положение точки на прямой, называют координатой точки и пишут в скобках: \(A(-3{,}5)\), \(B(2)\). Точка \(A\) лежит на 3,5 единичного отрезка левее \(O\), точка \(B\) — на 2 отрезка правее.
Координатная прямая может стоять и вертикально, как шкала термометра. Тогда положительные координаты у точек выше \(O\), отрицательные — ниже. Похожие шкалы — это лента времени (годы до нашей эры и нашей эры), высота гор над уровнем моря и глубина впадин под ним.
Расстояние между точками
Пока считать с отрицательными числами мы не умеем, расстояние между точками находим «шагами» по прямой:
- если точки по разные стороны от \(O\), их расстояния до \(O\) складывают: от \(A(-3{,}5)\) до \(B(2)\) будет \(3{,}5 + 2 = 5{,}5\) единицы;
- если точки по одну сторону от \(O\), из большего расстояния вычитают меньшее: от \((-5)\) до \((-2)\) будет \(5 - 2 = 3\) единицы.
Немного о цилиндре
В этом пункте учебник также знакомит с цилиндром. Если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон, получится цилиндр: противоположная сторона образует боковую поверхность, а две другие стороны — круги-основания. Развёртка боковой поверхности — прямоугольник: одна его сторона равна высоте цилиндра, другая — длине окружности основания, \(C = 2\pi r\).
Как решать задачи
- Определите знак числа: «тепло», «выше», «правее», «прибыль» — обычно «+»; «мороз», «ниже», «левее», «долг» — «−».
- Чтобы отметить точку, посмотрите на знак: «+» — откладывайте вправо (или вверх), «−» — влево (или вниз).
- Посчитайте, сколько клеток отложить: число без знака умножьте на длину единичного отрезка в клетках.
- Чтобы прочитать координату точки, посчитайте, на сколько единичных отрезков она отстоит от \(O\), и поставьте знак по стороне.
- Нуль ни к положительным, ни к отрицательным не относите; к неотрицательным и неположительным — относите.
- Расстояние между точками: по разные стороны от \(O\) — сложите расстояния до \(O\), по одну сторону — вычтите из большего меньшее.
Разобранные примеры
Числа со знаком в жизни
Запишите числами со знаком: 8° тепла; 12° мороза; глубина 40 м ниже уровня моря; высота 150 м над уровнем моря. Какие из этих чисел отрицательные?
«Тепло» и «над уровнем моря» — выше нуля, поэтому знак «+»: \(+8\)°, \(+150\) м.
«Мороз» и «ниже уровня моря» — ниже нуля, поэтому знак «−»: \(-12\)°, \(-40\) м.
Отмечаем точки на прямой
Единичный отрезок координатной прямой равен 4 клеткам. На сколько клеток и в какую сторону от начала отсчёта нужно отложить точки \(P(-1{,}5)\), \(Q\left(\dfrac{3}{4}\right)\) и \(R\left(-2\dfrac{1}{4}\right)\)?
\(P(-1{,}5)\): знак «−», значит, влево; \(1{,}5 \cdot 4 = 6\) клеток.
\(Q\left(\dfrac{3}{4}\right)\): знака «−» нет — число положительное, вправо; \(\dfrac{3}{4} \cdot 4 = 3\) клетки.
\(R\left(-2\dfrac{1}{4}\right)\): влево; \(2\dfrac{1}{4} \cdot 4 = \dfrac{9}{4} \cdot 4 = 9\) клеток.
Расстояние между точками
На координатной прямой отмечены точки \(A(-2{,}6)\), \(B(3{,}4)\) и \(C(-5)\). Найдите длины отрезков \(AB\) и \(AC\) в единичных отрезках.
\(AB\): точки \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от \(O\) — на 2,6 и на 3,4 единицы. Расстояния складываем:
\(2{,}6 + 3{,}4 = 6\) (ед. отр.).
\(AC\): обе точки левее \(O\) — на 2,6 и на 5 единиц. Точка \(C\) дальше, поэтому из большего вычитаем меньшее:
\(5 - 2{,}6 = 2{,}4\) (ед. отр.).
Типичные ошибки
У нуля нет знака: он стоит ровно в начале отсчёта, не правее и не левее. Поэтому в задании «выпишите положительные числа» нуль писать нельзя.
Нуль не положительный и не отрицательный. Но он входит в неотрицательные (положительные и нуль) и в неположительные (отрицательные и нуль) числа.
Знак «−» означает, что точку откладывают влево от \(O\). Число 5 больше, значит, точка \(-5\) отстоит от начала отсчёта дальше влево, чем \(-2\).
Сначала смотрите на знак — он задаёт сторону, потом на число без знака — оно задаёт, как далеко идти. Точка \(-5\) левее точки \(-2\) на 3 единицы.
Для точек \(A(-3)\) и \(B(4)\) ученик пишет \(4 - 3 = 1\). Но чтобы дойти от \(A\) до \(B\), нужно пройти 3 единицы до нуля и ещё 4 единицы после него.
Если точки по разные стороны от \(O\), расстояния до \(O\) складывают: \(3 + 4 = 7\). Вычитают — только когда обе точки по одну сторону. Помогает быстрый рисунок: прямая, нуль, две точки.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое из чисел не является ни положительным, ни отрицательным?
Показать ответ
Ответ: Б) \(0\)
Нуль отделяет положительные числа от отрицательных и сам не относится ни к тем, ни к другим.
-
Какие из чисел неотрицательные?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(7\); Б) \(0\); Г) \(\dfrac{1}{2}\)
Неотрицательные числа — все положительные числа и нуль; число \(-3\) отрицательное.
-
Единичный отрезок равен 3 клеткам. На сколько клеток левее начала отсчёта лежит точка с координатой \(-4\)?
Показать ответ
Ответ: 12
Точка отстоит от \(O\) на 4 единичных отрезка, это \(4 \cdot 3 = 12\) клеток влево.
-
Где на вертикальной координатной прямой расположены точки с отрицательными координатами?
Показать ответ
Ответ: Б) Ниже начала координат
На вертикальной прямой положительное направление — вверх, поэтому отрицательные числа лежат ниже точки \(O\).
-
Найдите расстояние между точками \(A(-2{,}5)\) и \(B(1{,}5)\) в единичных отрезках.
Показать ответ
Ответ: 4
Точки по разные стороны от \(O\), поэтому расстояния до \(O\) складываются, \(2{,}5 + 1{,}5 = 4\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Из чисел \(-7\); \(3{,}5\); \(0\); \(-\dfrac{2}{3}\); \(12\); \(-0{,}1\); \(+4\) выпишите отрицательные числа и неотрицательные числа.
Подсказка
Отрицательные числа записаны со знаком «−». Неотрицательные — это положительные числа и нуль.
Решение
Со знаком «−» записаны числа \(-7\), \(-\dfrac{2}{3}\) и \(-0{,}1\) — это отрицательные числа.
Положительные числа: \(3{,}5\); \(12\); \(+4\). Добавим к ним нуль — получим неотрицательные числа: \(3{,}5\); \(0\); \(12\); \(+4\).
Ответ
Термометр показывал 3° мороза. Столбик поднялся на 5 делений (одно деление — 1°). Какую температуру теперь показывает термометр?
Подсказка
Сначала посчитайте, сколько делений столбику нужно пройти до нуля.
Решение
3° мороза — это \(-3\)°.
-
Чтобы подняться от \(-3\) до 0, столбику нужно пройти 3 деления.
-
\(5 - 3 = 2\) (деления) — столбик поднимется ещё выше нуля.
Значит, термометр показывает \(+2\)°, то есть 2° тепла.
Ответ
Единичный отрезок координатной прямой равен 5 клеткам. На сколько клеток и в какую сторону от начала отсчёта находится точка \(K(-2{,}4)\)?
Подсказка
Координата отрицательная — значит, точка левее начала отсчёта. Одна единица — 5 клеток.
Решение
Координата \(-2{,}4\) отрицательная, поэтому точка \(K\) лежит левее точки \(O\).
От \(O\) до \(K\) — 2,4 единичного отрезка. В одном отрезке 5 клеток, поэтому
\(2{,}4 \cdot 5 = 12\) (клеток).
Ответ
Найдите расстояние между точками \(A(-3{,}2)\) и \(B(1{,}8)\) координатной прямой в единичных отрезках.
Подсказка
Точки лежат по разные стороны от начала отсчёта. Сложите расстояния от каждой из них до точки \(O\).
Решение
Точка \(A\) лежит левее \(O\) на 3,2 единицы, точка \(B\) — правее \(O\) на 1,8 единицы.
Чтобы дойти от \(A\) до \(B\), нужно пройти до \(O\), а потом от \(O\) до \(B\):
\(3{,}2 + 1{,}8 = 5\) (ед. отр.).
Ответ
Найдите расстояние между точками \(M\left(-4\dfrac{1}{2}\right)\) и \(N\left(-1\dfrac{1}{3}\right)\) координатной прямой в единичных отрезках.
Подсказка
Обе точки левее начала отсчёта. Какая из них дальше от \(O\)?
Решение
Обе координаты отрицательные, значит, обе точки лежат левее \(O\): точка \(M\) — на \(4\dfrac{1}{2}\) единицы, точка \(N\) — на \(1\dfrac{1}{3}\) единицы.
Точка \(M\) дальше от \(O\), чем \(N\). Расстояние между ними — разность расстояний до \(O\):
Ответ
На координатной прямой отмечены точки \(A(-6)\) и \(B(4)\). Найдите координату точки \(C\) — середины отрезка \(AB\).
Подсказка
Найдите длину отрезка \(AB\), возьмите половину и отложите её от точки \(B\) влево.
Решение
-
Точка \(A\) левее \(O\) на 6 единиц, точка \(B\) правее \(O\) на 4 единицы, поэтому \(AB = 6 + 4 = 10\) (ед. отр.).
-
\(10 : 2 = 5\) (ед. отр.) — расстояние от середины \(C\) до каждого конца.
-
От точки \(B(4)\) идём влево на 5 единиц: 4 единицы — до точки \(O\), и ещё 1 единицу левее \(O\). Значит, точка \(C\) лежит левее \(O\) на 1 единицу.
Проверка: от \(A(-6)\) до \(C(-1)\) тоже 5 единиц.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Покажите уличный или комнатный термометр: выше нуля — «плюс», ниже — «минус». Затем вспомните лифт в доме с подземной парковкой: первый этаж — 1, парковка — −1, ещё ниже — −2. Нарисуйте на листе в клетку прямую, отметьте 0 и попросите ребёнка поставить точки 3, −3, −1,5, отсчитывая клетки. Пусть сам скажет, куда идти при знаке «минус».
Вопросы для проверки понимания: 1) Является ли 0 положительным числом? А неотрицательным? 2) Где на прямой лежит точка \(-4\) — левее или правее точки \(-1\)? 3) Какое расстояние между точками \(-2\) и \(3\)?
На что обратить внимание. Типичные трудности — нуль, который ребёнок причисляет к положительным, и точки вроде \(-5\), которые ставят ближе к нулю, чем \(-2\). Просите каждый раз проговаривать: «знак — это сторона, число — это сколько шагов». Расстояние между точками полезно сначала пересчитать по клеткам на рисунке и лишь потом считать.