Задача 1
(Устно.) Какую из дробей 5/8; 19/21; 19/35; 21/35; 11/250; 19/40; 2/9; 5/12; 21/56; 7/32 можно представить в виде конечной десятичной дроби?
Решение
Сократим дроби, где можно, и разложим знаменатели на простые множители.
Только 2 и 5 в знаменателе: \(\dfrac{5}{8}\) (\(8 = 2^3\)); \(\dfrac{21}{35} = \dfrac{3}{5}\); \(\dfrac{11}{250}\) (\(250 = 2 \cdot 5^3\)); \(\dfrac{19}{40}\) (\(40 = 2^3 \cdot 5\)); \(\dfrac{21}{56} = \dfrac{3}{8}\); \(\dfrac{7}{32}\) (\(32 = 2^5\)).
Есть другие множители: \(\dfrac{19}{21}\) (\(21 = 3 \cdot 7\)), \(\dfrac{19}{35}\) (\(35 = 5 \cdot 7\)), \(\dfrac{2}{9}\) (\(9 = 3 \cdot 3\)), \(\dfrac{5}{12}\) (\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)) — эти дроби несократимы, конечной десятичной дробью их не записать.
Например, \(\dfrac{5}{8} = 0{,}625\); \(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\); \(\dfrac{11}{250} = 0{,}044\); \(\dfrac{19}{40} = 0{,}475\); \(\dfrac{3}{8} = 0{,}375\); \(\dfrac{7}{32} = 0{,}21875\).
Ответ
Несократимая дробь равна конечной десятичной, только если её знаменатель раскладывается на множители 2 и 5.
Подробнее — в теме «Рациональные числа. Периодические дроби».