Рациональные числа. Периодические дроби

Какие числа рациональные

Зимой термометр показывает \(-2{,}5\) °C, в рецепте написано «\(\dfrac{3}{4}\) стакана муки», в школе 27 учеников. Числа очень разные, но у них есть общее: каждое можно записать как частное целого числа и натурального.

Такие числа называют рациональными: число рациональное, если его можно записать в виде \(\dfrac{p}{q}\), где \(p\) — целое число, а \(q\) — натуральное.

• Целое число — рациональное: \(8 = \dfrac{8}{1}\), \(-3 = \dfrac{-3}{1}\), \(0 = \dfrac{0}{1}\).
• Десятичная дробь — рациональная: \(0{,}9 = \dfrac{9}{10}\), \(-1{,}25 = \dfrac{-125}{100}\).
• Смешанное число — тоже: \(-2\dfrac{1}{4} = \dfrac{-9}{4}\).

Минус всегда пишут в числителе: знаменатель \(q\) — натуральное число, а натуральные числа отрицательными не бывают.

Если сложить, вычесть, перемножить или разделить два рациональных числа (делить на нуль нельзя), снова получится рациональное число. Например, \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3 - 5}{6} = \dfrac{-2}{6} = \dfrac{-1}{3}\).

Когда дробь превращается в конечную десятичную

Чтобы записать обыкновенную дробь десятичной, числитель делят на знаменатель: \(\dfrac{3}{20} = 3 : 20 = 0{,}15\). Деление закончится не всегда. Всё решает знаменатель: если у несократимой дроби знаменатель раскладывается на простые множители только из двоек и пятёрок, получится конечная десятичная дробь. Если в разложении есть другие простые числа (3, 7, 11…), конечной дробью её не записать.

Слово «несократимой» важно. У дроби \(\dfrac{6}{15}\) в знаменателе есть тройка, но после сокращения \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).

Периодические дроби

Разделим 5 на 12 уголком. Остатки получаются 2, потом 8, потом снова 8, и так без конца, а в частном без конца повторяется цифра 6:

Почему цифры обязательно начнут повторяться? Остаток при делении на 12 всегда меньше 12, поэтому разных остатков не больше одиннадцати. Рано или поздно какой-то остаток встретится снова — и деление пойдёт по кругу.

Такие бесконечные дроби называют периодическими. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом и записывают в скобках один раз: \(0{,}41666\ldots = 0{,}41(6)\), \(\dfrac{5}{11} = 0{,}4545\ldots = 0{,}(45)\). Читают так: «нуль целых сорок одна сотая и шесть в периоде», «нуль целых сорок пять в периоде».

Итог: любое рациональное число можно записать конечной десятичной дробью (или целым числом) либо периодической дробью.

Приближения

С бесконечной дробью в расчётах неудобно, поэтому берут её приближение. Для \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) до сотых: с недостатком 0,33, с избытком 0,34, то есть \(0{,}33 < \dfrac{1}{3} < 0{,}34\). Чем больше цифр после запятой, тем точнее приближение. Округление выбирает из двух приближений ближайшее: \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33\), а \(\dfrac{2}{3} = 0{,}666\ldots \approx 0{,}67\).

Как решать задачи

1. Чтобы записать число в виде \(\dfrac{p}{q}\): целое число — со знаменателем 1, десятичную дробь — со знаменателем 10, 100, 1000…, смешанное число — неправильной дробью. Минус — в числитель.
2. Чтобы узнать, будет ли десятичная дробь конечной, сократите дробь и разложите знаменатель на простые множители. Только 2 и 5 — конечная, есть другие — периодическая.
3. Чтобы получить десятичную дробь, делите числитель на знаменатель уголком и записывайте остатки.
4. Как только остаток повторился, отметьте, с какой цифры частного начался повтор: эти цифры и есть период. Цифры до него в скобки не берите.
5. Для приближения до нужного разряда отбросьте дальние цифры — это приближение с недостатком; увеличьте последнюю оставленную цифру на 1 — получите приближение с избытком.