Задача 1
Условие (кратко)
(Устно.) Может ли периметр или площадь прямоугольника с натуральными сторонами выражаться простым числом?
Решение
Пусть стороны прямоугольника — натуральные числа \(a\) и \(b\).
Периметр \(P = 2 \cdot (a + b)\). Он делится на 2 и больше 2 (наименьший — при \(a = b = 1\), тогда \(P = 4\)). Чётное число, большее 2, составное, значит, периметр простым числом быть не может.
Площадь \(S = a \cdot b\). Если одна сторона равна 1, а другая — простое число, площадь простая: например, при сторонах 1 и 3 получаем \(S = 1 \cdot 3 = 3\). Если обе стороны больше 1, площадь — составное число.
Ответ
Периметр — нет (он всегда чётный и больше 2); площадь — да, если одна сторона равна 1, а другая — простое число (например, 1 и 3)
Почему так
Периметр прямоугольника — удвоенная сумма сторон, то есть всегда чётное число больше 2, а простое произведение возможно, только когда один множитель равен 1.