Коротко о главном
Треугольники различают по углам — остроугольные, прямоугольные, тупоугольные — и по сторонам — равносторонние, равнобедренные, разносторонние. Чтобы назвать вид, смотрят на самый большой угол и сравнивают длины сторон.
Подробное объяснение
Треугольники вокруг нас
Дорожный знак «Уступи дорогу», кусок пиццы, крыша домика на рисунке, косынка, сложенная пополам, — всё это треугольники. Но они разные: у одних все стороны одинаковые, у других вершина вытянута вверх, у третьих один угол как у листа тетради. Чтобы коротко сказать, какой треугольник перед нами, треугольники делят на виды — по углам и по сторонам.
Виды по углам
Вспомним: угол меньше 90° называют острым, угол 90° — прямым, угол больше 90°, но меньше 180°, — тупым.
Треугольник называют:
- остроугольным, если все три его угла острые;
- прямоугольным, если один из его углов прямой;
- тупоугольным, если один из его углов тупой.
Обратите внимание на слово «все» в первом определении. Острый угол есть у любого треугольника, поэтому одного острого угла мало. Вид по углам решает самый большой угол: если он прямой — треугольник прямоугольный, если тупой — тупоугольный, если и он острый — остроугольный.
Проверить, прямой ли угол, удобно уголком чертёжного треугольника или листа бумаги. Если угол «шире» уголка — он тупой, если «уже» — острый. Точнее его измеряют транспортиром.
Виды по сторонам
Треугольник называют:
- равносторонним, если все три его стороны равны;
- равнобедренным, если только две его стороны равны;
- разносторонним, если все его стороны разной длины.
У равнобедренного треугольника две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием. Основание не обязательно лежит внизу: его узнают не по положению на рисунке, а по тому, что оно не равно двум другим сторонам.
На чертежах равные стороны отмечают одинаковым числом штрихов: одна чёрточка на каждой из равных сторон или по две. Равные углы отмечают одинаковым числом дуг.
Вид по сторонам и вид по углам — независимые признаки, и их называют вместе: «равнобедренный прямоугольный», «разносторонний тупоугольный». Например, если сложить квадратный листок бумаги по диагонали, получится равнобедренный прямоугольный треугольник.
Построение по трём сторонам
Пусть нужно построить треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. Транспортир не нужен — хватит линейки и циркуля.
- Начертите отрезок \(AB = 6\) см — это одна сторона.
- Раскройте циркуль на 4 см и проведите окружность (или её дугу) с центром в точке \(A\). Все точки этой окружности удалены от \(A\) на 4 см.
- Раскройте циркуль на 5 см и проведите окружность с центром в точке \(B\).
- Точку пересечения окружностей обозначьте \(C\): она удалена от \(A\) на 4 см, а от \(B\) — на 5 см.
- Соедините \(C\) с точками \(A\) и \(B\). Треугольник \(ABC\) готов.
Окружности пересекаются в двух точках — выше и ниже отрезка. Можно взять любую: получатся одинаковые треугольники, только один «перевёрнут».
Иногда окружности не пересекаются вовсе. Попробуйте взять отрезки 2 см, 3 см и 7 см: окружности с радиусами 2 см и 3 см не дотянутся друг до друга, и треугольник не получится. Так бывает, когда две короткие стороны вместе не длиннее третьей.
Как определить вид треугольника
- Найдите самый большой угол. Если он равен 90° — треугольник прямоугольный, если больше 90° — тупоугольный, если меньше — остроугольный.
- Сравните длины сторон. Все три равны — равносторонний; равны только две — равнобедренный; все разные — разносторонний.
- У равнобедренного треугольника назовите основание — сторону, которая отличается от двух равных.
- Назовите вид полностью: сначала по сторонам, потом по углам.
Разобранные примеры
Вид треугольника по сторонам и углам
У треугольника \(KLM\) стороны \(KL = 5\) см, \(LM = 8\) см, \(KM = 5\) см, а углы равны 37°, 106° и 37°. Определите вид треугольника по сторонам и по углам и назовите его основание.
Равны только две стороны, \(KL\) и \(KM\), поэтому треугольник равнобедренный. Боковые стороны — \(KL\) и \(KM\), основание — \(LM\).
Самый большой угол 106° — больше прямого, значит он тупой и треугольник тупоугольный.
Построение по трём сторонам
Постройте треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 3 см. Какой это треугольник по сторонам?
-
Начертим отрезок \(AB = 3\) см — будущее основание.
-
Циркулем, раскрытым на 5 см, проведём окружность с центром \(A\).
-
Тем же раствором циркуля проведём окружность с центром \(B\).
-
Отметим точку пересечения окружностей \(C\) и проведём отрезки \(AC\) и \(BC\).
Получились стороны \(AC = BC = 5\) см и \(AB = 3\) см: равны только две стороны. Проверить построение можно линейкой: обе боковые стороны должны быть по 5 см.
Стороны по периметру
Периметр равнобедренного треугольника 27 см. Основание на 3 см короче боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
- равнобедренный треугольник
- периметр 27 см
- основание на 3 см короче боковой стороны
- стороны
-
Если удлинить основание на 3 см, все три стороны станут равны боковой, а периметр станет \(27 + 3 = 30\) (см).
-
\(30 : 3 = 10\) (см) — боковая сторона.
-
\(10 - 3 = 7\) (см) — основание.
Проверка: \(10 + 10 + 7 = 27\) (см).
Типичные ошибки
Ученик видит у треугольника угол 40° и пишет «остроугольный». Но острые углы есть у любого треугольника, даже у прямоугольного и тупоугольного. Треугольник с углами 40°, 30° и 110° тупоугольный.
Смотрите на самый большой угол. Остроугольный — только тот треугольник, у которого острые все три угла.
В учебнике равнобедренным называют треугольник, у которого равны только две стороны. У равностороннего равны все три, поэтому по этим определениям он равносторонний, а не равнобедренный.
Сначала посчитайте, сколько сторон равны: три — равносторонний, ровно две — равнобедренный, ни одной пары — разносторонний.
Если равнобедренный треугольник повернуть, внизу может оказаться боковая сторона. Ученик называет основанием её, хотя она равна другой стороне.
Основание — это та сторона, которая не равна двум другим. Найдите две равные стороны (на чертеже — со штрихами), а основанием назовите третью.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Один из углов треугольника равен 120°. Как называется такой треугольник?
Показать ответ
Ответ: В) Тупоугольный
Угол 120° тупой, а треугольник с тупым углом называют тупоугольным.
-
Какие утверждения верны (по определениям учебника)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) У равнобедренного треугольника равны только две стороны; Б) У разностороннего треугольника все стороны разной длины; В) Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным
Прямоугольный треугольник с двумя равными сторонами при прямом угле — равнобедренный, а остроугольным треугольник называют, только если острые все три угла.
-
Сторона равностороннего треугольника 4,5 см. Найдите его периметр в сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 13,5
Все стороны равны, поэтому периметр \(4{,}5 \cdot 3 = 13{,}5\) см.
-
Какие инструменты нужны, чтобы построить треугольник по трём сторонам?
Показать ответ
Ответ: Б) Линейка и циркуль
Линейкой откладывают одну сторону, а циркулем проводят окружности с радиусами, равными двум другим сторонам.
-
Периметр равнобедренного треугольника 20 см, основание 6 см. Найдите боковую сторону в сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 7
Боковые стороны вместе \(20 - 6 = 14\) см, каждая \(14 : 2 = 7\) см.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Углы треугольника равны 35°, 90° и 55°. Какой это треугольник по углам?
Подсказка
Посмотрите, есть ли среди углов прямой или тупой.
Решение
Угол 90° — прямой. Если один из углов треугольника прямой, треугольник называют прямоугольным. Остальные два угла, 35° и 55°, острые.
Ответ
Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Найдите его периметр.
Подсказка
У равностороннего треугольника все три стороны равны.
Решение
Все три стороны по 7 см, поэтому периметр равен \(7 \cdot 3 = 21\) (см).
Ответ
Периметр равнобедренного треугольника 34 см, основание 10 см. Найдите боковую сторону.
Подсказка
Две боковые стороны равны. Сначала найдите их сумму.
Решение
- равнобедренный треугольник
- периметр 34 см
- основание 10 см
- боковую сторону
-
\(34 - 10 = 24\) (см) — сумма двух боковых сторон.
-
\(24 : 2 = 12\) (см) — боковая сторона.
Проверка: \(12 + 12 + 10 = 34\) (см).
Ответ
У треугольника ABC стороны AB и BC равны по 6 см, сторона AC равна 9 см, а угол B равен 97°. Назовите вид треугольника по сторонам и по углам. Какая сторона — основание?
Подсказка
Сравните длины сторон, затем найдите, какой из углов не острый.
Решение
Равны только две стороны, \(AB = BC\), поэтому треугольник равнобедренный. Боковые стороны — \(AB\) и \(BC\), основание — третья сторона \(AC\).
Угол \(B\) больше 90°, но меньше 180°, — он тупой. Значит, треугольник тупоугольный.
Ответ
Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см? Объясните с помощью построения циркулем.
Подсказка
Начертите отрезок 8 см и проведите из его концов окружности радиусами 3 см и 4 см.
Решение
Начертим отрезок \(AB = 8\) см. Окружность с центром \(A\) радиусом 3 см доходит по отрезку только до отметки 3 см от точки \(A\). Окружность с центром \(B\) радиусом 4 см доходит до отметки 4 см от точки \(B\), то есть до отметки \(8 - 4 = 4\) (см) от точки \(A\).
Между отметками 3 см и 4 см остаётся промежуток 1 см: окружности не пересекаются, и третьей вершины нет. Две короткие стороны вместе, \(3 + 4 = 7\) см, короче третьей стороны 8 см — они «не дотягиваются» друг до друга.
Ответ
Из проволоки длиной 30 см согнули равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона в 2 раза длиннее основания. Найдите стороны треугольника.
Подсказка
Примите основание за одну часть. Сколько таких частей во всей проволоке?
Решение
- равнобедренный треугольник
- периметр 30 см
- боковая сторона в 2 раза больше основания
- стороны
-
Основание — 1 часть, каждая боковая сторона — 2 части. Всего \(1 + 2 + 2 = 5\) (частей).
-
\(30 : 5 = 6\) (см) — основание.
-
\(6 \cdot 2 = 12\) (см) — боковая сторона.
Проверка: \(6 + 12 + 12 = 30\) (см).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги, ножницы и несколько палочек или полосок картона разной длины. Сложите квадратный лист по диагонали — получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Вырежьте ещё пару треугольников и попросите ребёнка проверить углы уголком тетрадного листа: «шире» — тупой, «уже» — острый. Из полосок длиной 3, 4 и 5 клеток сложите треугольник, а из полосок 2, 3 и 7 клеток — попробуйте и убедитесь, что не получается.
Вопросы для проверки понимания: 1) Может ли тупоугольный треугольник иметь острый угол? 2) Чем равнобедренный треугольник отличается от равностороннего? 3) Как построить треугольник, если известны три его стороны?
На что обратить внимание. Дети часто определяют вид по первому попавшемуся углу и считают основанием нижнюю сторону. Попросите ребёнка всегда называть вид полностью — по сторонам и по углам — и показывать, какие стороны равны.