а) На клетчатом рисунке 6.8, а наклонная прямая m (поднимается вправо); точки A и C над ней, B под ней (C и B на одной вертикали). Провести через A, B и C прямые, перпендикулярные m.
Решение
Для каждой точки:
Приложим чертёжный треугольник одним катетом к прямой \(m\) (если нужно, продлим её).
Передвинем треугольник вдоль \(m\), пока второй катет не пройдёт через точку, и проведём по нему прямую.
Что должно получиться: три прямые, которые идут круто вниз вправо и пересекают \(m\) под прямым углом. Все три прямые параллельны друг другу (не пересекаются).
Обратите внимание: точки \(C\) и \(B\) лежат на одной вертикальной линии сетки, но прямая \(m\) не горизонтальна, поэтому перпендикуляры через \(C\) и через \(B\) — разные прямые, а не одна вертикаль.
Проверка: угол между каждой построенной прямой и \(m\) — \(90^\circ\) (по транспортиру или по углу треугольника).
Ответ
Три параллельные друг другу прямые, каждая пересекает m под прямым углом
Почему так
Через каждую точку проводится только одна прямая, перпендикулярная данной прямой.
б) На клетчатом рисунке 6.8, б прямая m круто идёт вниз вправо (примерно 2 клетки вниз на каждую клетку вправо). Точка A слева от m, B и C справа. Провести через A, B и C прямые, перпендикулярные m.
Решение
Прямая \(m\) идёт круто вниз вправо — примерно «1 клетка вправо, 2 клетки вниз» (на рисунке чуть положе: на 7 клеток вниз она смещается почти на 4 клетки вправо). Поэтому перпендикуляры к ней пойдут полого вверх вправо — примерно «2 клетки вправо, 1 клетка вверх».
Приложим чертёжный треугольник одним катетом к прямой \(m\).
Передвинем его вдоль \(m\), пока второй катет не пройдёт через точку \(A\), и проведём прямую. Так же — через \(B\) и через \(C\) (при необходимости продлим \(m\)).
Клетки здесь — только прикидка: прямая \(m\) проходит не через узлы сетки, поэтому строить нужно угольником, а не по клеткам.
Проверка: приложите угольник — каждая прямая пересекает \(m\) (или её продолжение) под прямым углом. Все три прямые параллельны друг другу.
Ответ
Три параллельные прямые, полого поднимающиеся вправо (примерно 2 клетки вправо — 1 вверх), перпендикулярные m
Почему так
Через каждую точку проводится только одна прямая, перпендикулярная данной; крутой прямой перпендикулярна пологая.
в) На клетчатом рисунке 6.8, в прямая m идёт вниз вправо по диагоналям клеток. C — слева вверху на продолжении m, A — справа, B — внизу. Провести через A, B и C прямые, перпендикулярные m.
Решение
Прямая \(m\) идёт по диагоналям клеток: «1 вправо, 1 вниз». Перпендикулярное направление — тоже по диагоналям: «1 вправо, 1 вверх».
Точки \(A\) и \(B\) лежат на одной такой диагонали: от \(B\) до \(A\) — 4 клетки вправо и 4 вверх. Поэтому перпендикуляры через \(A\) и через \(B\) совпадают — это одна прямая \(AB\). Она пересекает \(m\) под прямым углом.
Точка \(C\) лежит на продолжении прямой \(m\) (продлите \(m\) влево вверх — она пройдёт через \(C\)). Перпендикуляр через \(C\) проводим в самой точке \(C\) по диагоналям клеток «1 вправо, 1 вверх».
Проверка угольником: обе прямые перпендикулярны \(m\) и параллельны друг другу.
Ответ
Через A и B проходит одна общая прямая AB, перпендикулярная m; через C (она на продолжении m) — вторая перпендикулярная прямая
Почему так
Через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной, поэтому для точек на одном перпендикуляре прямая общая.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Математика. 6 класс» (Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, Л. А. Александрова, С. И. Шварцбурд; Просвещение, 2024).