Какие две прямые называют перпендикулярными?

Пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла

Любые две пересекающиеся прямые

Прямые, одна из которых вертикальная, а другая горизонтальная

Прямые, которые не пересекаются

В каких случаях получаются перпендикулярные отрезки или лучи?

Горизонтальная и вертикальная линии тетрадной клетки

Часовая и минутная стрелки ровно в 3 часа

Две соседние стороны прямоугольника

Часовая и минутная стрелки ровно в 6 часов

Перпендикулярные прямые — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Коротко о главном

Две пересекающиеся прямые называют перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Отрезки и лучи, лежащие на перпендикулярных прямых, тоже называют перпендикулярными.

AB \perp CD

Подробное объяснение

Прямые углы вокруг нас

Посмотрите на тетрадь в клетку: горизонтальные линии пересекают вертикальные, и в каждом месте пересечения получается прямой угол. Так же пересекаются рельсы и шпалы, край стола и край соседней стены, линии тетради и поле. Про такие линии говорят, что они перпендикулярны.

Правило

Две пересекающиеся прямые называют перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Пишут: $AB \perp CD$ . Запись читают «прямая $$AB$$ перпендикулярна прямой $$CD$$ » или «прямые $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны».

Слева наклонные прямые AB и CD пересекаются в точке O, у одного из углов знак прямого угла. Справа отрезки MN и PK не пересекаются, но их продолжения пунктиром сходятся под прямым углом. — Перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла; отрезки перпендикулярны, если перпендикулярны прямые, на которых они лежат.

Проверять все четыре угла не нужно — достаточно одного. Два соседних угла при пересечении прямых вместе составляют развёрнутый угол, $180^\circ$ . Если один из них $90^\circ$ , то соседний тоже $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ , и так по кругу. Поэтому на чертеже обычно ставят знак прямого угла — маленький уголок — только у одного угла.

Важно: перпендикулярность не зависит от того, как прямые расположены на листе. Две наклонные прямые тоже могут быть перпендикулярны, а вертикальная и наклонная — нет.

Перпендикулярные отрезки и лучи

Отрезки (лучи), которые лежат на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (лучами). Они могут даже не пересекаться: если продлить отрезки $$MN$$ и $$PK$$ до прямых и эти прямые окажутся перпендикулярными, то $MN \perp PK$ .

Как построить

Чертёжным треугольником. У треугольника есть прямой угол. Приложите одну сторону прямого угла к прямой, сдвигайте треугольник вдоль неё, пока вторая сторона прямого угла не пройдёт через нужную точку, и проведите линию по этой стороне.

Транспортиром. Отметьте на прямой точку $$O$$ , совместите с ней центр транспортира, а его нулевую линию — с прямой. Поставьте точку у деления $90^\circ$ и проведите прямую через неё и точку $$O$$ .

Через любую точку, лежит ли она на прямой или нет, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

По клеткам. Если отрезок идёт наклонно, например 3 клетки вправо и 2 вверх, перпендикулярный ему отрезок получится, если поменять числа местами и одно направление на противоположное: 2 клетки влево и 3 вверх. Это тот же путь, только повёрнутый на четверть оборота.

На клетчатой сетке из точки O отрезок OA идёт на 3 клетки вправо и 2 вверх, отрезок OB — на 2 клетки влево и 3 вверх; между ними прямой угол. — Чтобы получить перпендикулярный отрезок по клеткам, поменяйте местами числа шагов и одно направление на противоположное.

Как решать задачи

Найдите, о каких прямых, отрезках или лучах идёт речь. Отрезки мысленно продлите до прямых.
Если нужно проверить перпендикулярность, приложите чертёжный треугольник прямым углом или измерьте угол транспортиром: должно получиться $90^\circ$ .
Если прямые перпендикулярны, все четыре угла между ними по $90^\circ$ . Запишите это.
Если внутри прямого угла проходит луч, он делит угол на две части, сумма которых $90^\circ$ . Неизвестную часть найдите вычитанием.
Если известен один угол при пересечении прямых, соседний равен $180^\circ$ минус этот угол. Прямые перпендикулярны, только когда оба угла по $90^\circ$ .
На клетчатой бумаге для перпендикуляра поменяйте местами числа клеток и одно направление.
Проверьте ответ: части прямого угла в сумме дают $90^\circ$ , соседние углы — $180^\circ$ .

Разобранные примеры

База

Все углы при пересечении

Условие

Прямые $$MN$$ и $$KL$$ пересекаются в точке $$O$$ , угол $$MOK$$ равен $90^\circ$ . Найдите остальные углы. Перпендикулярны ли прямые?

Решение

Угол $$KON$$ — соседний с углом $$MOK$$ , вместе они образуют развёрнутый угол $$MON$$ : $\angle KON = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ .

Так же $\angle NOL = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ и $\angle LOM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ .

Все четыре угла прямые, значит, $MN \perp KL$ .

Ответ: Все углы по 90°; прямые перпендикулярны.

Средний

Луч внутри прямого угла

Условие

Прямые $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны и пересекаются в точке $$O$$ . Луч $$OE$$ проходит внутри угла $$AOC$$ , угол $$AOE$$ равен $34^\circ$ . Найдите углы $$EOC$$ и $$EOD$$ .

Дано

$AB \perp CD$
$\angle AOE = 34^\circ$

Найти

$\angle EOC$
$\angle EOD$

Решение

Прямые перпендикулярны, поэтому $\angle AOC = 90^\circ$ и $\angle AOD = 90^\circ$ .
Луч $$OE$$ делит прямой угол $$AOC$$ : $\angle EOC = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$ .
Угол $$EOD$$ состоит из углов $$EOA$$ и $$AOD$$ : $\angle EOD = 34^\circ + 90^\circ = 124^\circ$ .

Проверка: углы $$EOC$$ и $$EOD$$ вместе составляют развёрнутый угол $$COD$$ : $56^\circ + 124^\circ = 180^\circ$ .

Ответ: ∠EOC = 56°, ∠EOD = 124°.

Сложный

Перпендикуляр по клеткам

Условие

На клетчатой бумаге от точки $$A$$ до точки $$B$$ нужно пройти 3 клетки вправо и 1 клетку вверх. Как построить отрезок $$AC$$ , перпендикулярный $$AB$$ , не пользуясь треугольником?

Решение

Повернём путь «3 вправо, 1 вверх» на четверть оборота против часовой стрелки: «вправо» станет «вверх», а «вверх» — «влево». Получаем путь «1 влево, 3 вверх».

Отсчитаем от точки $$A$$ одну клетку влево и три клетки вверх и отметим точку $$C$$ . Отрезок $$AC$$ перпендикулярен $$AB$$ .

Если повернуть путь в другую сторону, получится «1 вправо, 3 вниз» — это тоже подходит, отрезок пойдёт вниз.

Проверка: приложите чертёжный треугольник прямым углом к точке $$A$$ — его стороны пойдут по $$AB$$ и $$AC$$ .

Ответ: C — 1 клетка влево и 3 вверх от A (или 1 вправо и 3 вниз).

Типичные ошибки

Считают перпендикулярными только вертикальную и горизонтальную линии

Почему неверно

Ученик видит две наклонные прямые и говорит «не перпендикулярны», потому что ни одна не стоит «прямо». Но перпендикулярность — это прямой угол между прямыми, а не их положение на листе. Если повернуть тетрадь, линии клетки станут наклонными, но не перестанут быть перпендикулярными.

Как правильно

Не смотрите на наклон — проверяйте угол между прямыми чертёжным треугольником или транспортиром.

Решают, что непересекающиеся отрезки не могут быть перпендикулярными

Почему неверно

Отрезки $$MN$$ и $$PK$$ на рисунке не касаются друг друга, и ученик сразу пишет «не перпендикулярны». Но о перпендикулярности отрезков судят по прямым, на которых они лежат.

Как правильно

Продлите отрезки (лучи) до прямых. Если прямые пересекаются под прямым углом, отрезки перпендикулярны.

Проверяют треугольником не тот угол

Почему неверно

У чертёжного треугольника три угла, и только один из них прямой. Если приложить к пересечению острый угол, вывод будет неверным: перпендикулярные прямые покажутся неперпендикулярными, и наоборот.

Как правильно

Перед проверкой найдите на треугольнике прямой угол. Совместите его вершину с точкой пересечения, одну сторону — с одной прямой и посмотрите, пошла ли вторая сторона точно по другой прямой.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Прямые AB и CD пересекаются в точке O, угол AOC равен 88°. Найдите угол COB. Перпендикулярны ли прямые AB и CD?

Подсказка

Углы AOC и COB вместе составляют развёрнутый угол AOB.

Решение

Лучи $$OA$$ и $$OB$$ образуют развёрнутый угол, он равен $180^\circ$ . Луч $$OC$$ делит его на два угла, поэтому $\angle COB = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$ .

Прямые перпендикулярны, только если все углы при пересечении прямые. Здесь угол $$AOC$$ острый, а угол $$COB$$ тупой, поэтому прямые не перпендикулярны.

Ответ

∠COB = 92°; прямые не перпендикулярны

База Задача 2

Луч OK перпендикулярен прямой MN, точка O лежит на этой прямой. Луч OP проходит внутри угла MOK, угол MOP равен 27°. Найдите угол POK.

Подсказка

Угол MOK прямой, а луч OP делит его на две части.

Решение

Луч $$OK$$ перпендикулярен прямой $$MN$$ , значит, $\angle MOK = 90^\circ$ .

Луч $$OP$$ делит прямой угол на два угла: $\angle MOP + \angle POK = 90^\circ$ .

$\angle POK = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$ .

Ответ

63°

Средний Задача 3

Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Луч OE проходит внутри угла BOD, причём угол EOD в 3 раза больше угла BOE. Найдите углы BOE и EOD.

Подсказка

Примите угол BOE за x. Чему равна сумма двух углов?

Решение

Дано

$AB \perp CD$
луч $$OE$$ внутри угла $$BOD$$
$\angle EOD = 3 \cdot \angle BOE$

Найти

$\angle BOE$ и $\angle EOD$

Прямые перпендикулярны, поэтому $\angle BOD = 90^\circ$ .

Пусть $\angle BOE = x$ , тогда $\angle EOD = 3x$ . Вместе они составляют угол $$BOD$$ :

x + 3x = 90,\quad 4x = 90,\quad x = 22{,}5.

$\angle BOE = 22{,}5^\circ$ , $\angle EOD = 3 \cdot 22{,}5^\circ = 67{,}5^\circ$ .

Проверка: $22{,}5^\circ + 67{,}5^\circ = 90^\circ$ .

Ответ

∠BOE = 22,5°, ∠EOD = 67,5°

Средний Задача 4

Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов в 5 раз больше соседнего с ним. Найдите эти два угла. Перпендикулярны ли прямые?

Подсказка

Два соседних угла при пересечении прямых вместе составляют развёрнутый угол.

Решение

Дано

два соседних угла при пересечении прямых
один в 5 раз больше другого

Найти

эти углы

Соседние углы вместе составляют развёрнутый угол, $180^\circ$ . Пусть меньший угол равен $$x$$ , тогда больший — $$5x$$ :

x + 5x = 180,\quad 6x = 180,\quad x = 30.

Меньший угол $30^\circ$ , больший $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$ .

Углы не прямые, поэтому прямые не перпендикулярны. У перпендикулярных прямых соседние углы равны.

Ответ

30° и 150°; прямые не перпендикулярны

Сложный Задача 5

На клетчатой бумаге отмечены точки K и L так, что от K до L нужно пройти 4 клетки вправо и 1 клетку вниз. Через точку L проводят отрезок LM той же длины, перпендикулярный KL, причём точка M выше точки L. Как дойти от L до M по клеткам?

Подсказка

При повороте на прямой угол числа шагов меняются местами.

Решение

Повернём лист на четверть оборота против часовой стрелки. Отрезок $$KL$$ повернётся на прямой угол и станет ему перпендикулярным, а клетки останутся на своих местах. При этом направление «вправо» превратится в «вверх», а «вниз» — в «вправо».

Значит, путь «4 вправо, 1 вниз» превращается в путь «1 вправо, 4 вверх». Отрезок $$LM$$ с таким путём перпендикулярен $$KL$$ и имеет ту же длину, потому что это тот же отрезок, только повёрнутый.

Другой перпендикуляр той же длины, «1 влево, 4 вниз», ведёт вниз и не подходит.

Проверка: приложите чертёжный треугольник прямым углом к точке $$L$$ — одна его сторона пойдёт по $$LK$$ , другая по $$LM$$ .

Ответ

1 клетку вправо и 4 клетки вверх

Сложный Задача 6

Углы AOB и COD прямые. Лучи идут по порядку OA, OC, OB, OD так, что луч OC лежит внутри угла AOB, а луч OB — внутри угла COD. Угол AOC равен 25°. Найдите углы BOC и AOD.

Подсказка

Угол AOB состоит из углов AOC и COB. Угол AOD состоит из трёх углов.

Решение

Дано

$OA \perp OB$
$OC \perp OD$
$\angle AOC = 25^\circ$

Найти

$\angle BOC$ и $\angle AOD$

Луч $$OC$$ делит прямой угол $$AOB$$ : $\angle BOC = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ .
Луч $$OB$$ делит прямой угол $$COD$$ : $\angle BOD = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$ .
Угол $$AOD$$ состоит из трёх углов: $\angle AOD = 25^\circ + 65^\circ + 25^\circ = 115^\circ$ .

Заметим: оба прямых угла «отрезают» от общего угла $$AOD$$ по $25^\circ$ с краёв, а их общая часть, угол $$BOC$$ , равна $65^\circ$ .

Ответ

∠BOC = 65°, ∠AOD = 115°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги, сложите его пополам, а потом ещё раз пополам так, чтобы линия первого сгиба легла сама на себя. Разверните: два сгиба пересекаются и образуют четыре одинаковых угла — это прямые углы, и сгибы перпендикулярны. Затем найдите вместе прямые углы дома: угол книги, рама окна, плитка на полу — и проверьте их сложенным листом.

Вопросы для проверки понимания: 1) Две прямые пересекаются, один угол прямой. Какие остальные углы? 2) Могут ли быть перпендикулярными два отрезка, которые не пересекаются? 3) Перпендикулярны ли стрелки часов в 6 часов?

На что обратить внимание. Дети часто считают перпендикулярными только «вертикальную и горизонтальную» линии. Поверните лист с чертежом — и спросите, изменилось ли что-нибудь. Следите, чтобы при построении ребёнок прикладывал к прямой именно прямой угол треугольника.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 41	6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, 6.13, 6.14, 6.15, 6.16, 6.17, 6.18