а) Начертить четырёхугольник MNPK, у которого \(MN \perp NP\).
Решение
Начертим отрезок \(MN\).
Чертёжным треугольником проведём через точку \(N\) прямую, перпендикулярную \(MN\), и отметим на ней точку \(P\).
Отметим точку \(K\) так, чтобы получился четырёхугольник \(MNPK\) (вершины соединяются по порядку \(M \to N \to P \to K \to M\), стороны не пересекаются), и проведём отрезки \(PK\) и \(KM\).
Проверка: угол \(N\) четырёхугольника — прямой. Остальные углы могут быть любыми, поэтому чертежи у разных учеников будут разными.
Ответ
Четырёхугольник, у которого угол N прямой
Почему так
Если стороны MN и NP перпендикулярны, угол между ними при вершине N прямой.
б) Начертить четырёхугольник MNPK, у которого \(MN \perp MK\) и \(NP \perp MN\).
Решение
Начертим отрезок \(MN\).
Через точку \(M\) проведём прямую, перпендикулярную \(MN\), и отметим на ней точку \(K\).
Через точку \(N\) проведём прямую, перпендикулярную \(MN\), по ту же сторону от \(MN\) отметим на ней точку \(P\).
Соединим точки \(P\) и \(K\).
Проверка: углы \(M\) и \(N\) — прямые. Стороны \(MK\) и \(NP\) перпендикулярны одной и той же стороне \(MN\), поэтому они не пересекаются, как бы их ни продолжали. Если взять \(MK = NP\), получится прямоугольник, если \(MK \ne NP\) — четырёхугольник только с двумя прямыми углами.
Ответ
Четырёхугольник с прямыми углами M и N (при MK = NP — прямоугольник)
Почему так
Перпендикулярность сторон, выходящих из одной вершины, означает, что угол при этой вершине прямой.
в) Начертить четырёхугольник MNPK, у которого \(MN \perp NP\), \(MN \perp MK\) и \(PK \perp NP\).
Решение
Начертим отрезок \(MN\) и проведём через его концы прямые, перпендикулярные \(MN\) (по одну сторону от него).
На прямой, проходящей через \(N\), отметим точку \(P\).
Через точку \(P\) проведём прямую, перпендикулярную \(NP\). Точка её пересечения с прямой, проходящей через \(M\), — вершина \(K\).
У четырёхугольника \(MNPK\) углы \(N\), \(M\) и \(P\) прямые. Измерим угол \(K\) — он тоже \(90^\circ\). Все углы прямые, значит, \(MNPK\) — прямоугольник.
Проверка: противоположные стороны должны быть равны: \(MN = PK\), \(NP = MK\).
Ответ
Прямоугольник MNPK
Почему так
Четырёхугольник, у которого все углы прямые, — прямоугольник; если три угла прямые, то и четвёртый прямой.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Математика. 6 класс» (Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, Л. А. Александрова, С. И. Шварцбурд; Просвещение, 2024).