Задача 1
(Задание для работы в группе.) Нарисовать квадрат, через каждую его вершину провести прямую, параллельную его диагонали. Обозначить точки пересечения прямых. Какой четырёхугольник получился?
Решение
Нарисуем квадрат ABCD и его диагонали AC и BD. Через каждую вершину проводим прямую, параллельную той диагонали, которая через эту вершину не проходит:
через A и C — прямые, параллельные BD; через B и D — прямые, параллельные AC.
Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому каждая прямая, параллельная AC, перпендикулярна каждой прямой, параллельной BD. Четыре прямые пересекаются в четырёх точках K, L, M, N, и все углы четырёхугольника KLMN прямые.
Каждая сторона KLMN параллельна диагонали квадрата и равна ей (например, сторона через вершину A заключена между прямыми через B и D, а расстояние между ними — диагональ BD). Диагонали квадрата равны, значит, все стороны KLMN равны.
Получился квадрат KLMN; вершины исходного квадрата — середины его сторон. Проверка: измерьте стороны KLMN линейкой и углы угольником — стороны равны диагонали ABCD, углы прямые.
Ответ
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны, поэтому прямые, параллельные им, образуют четырёхугольник с прямыми углами и равными сторонами.
Подробнее — в теме «Параллельные прямые».