Какие две прямые на плоскости называют параллельными?

Те, что не пересекаются

Те, что пересекаются под прямым углом

Те, что имеют одинаковую длину

Те, что пересекаются в одной точке

Какие утверждения верны?

Если CD \parallel KP, то KP \parallel CD

Два отрезка, которые не пересекаются, всегда параллельны

Как читают запись r \parallel s?

Прямая r параллельна прямой s

Прямая r перпендикулярна прямой s

Прямая r равна прямой s

Прямая r пересекает прямую s

Параллельные прямые — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Коротко о главном

Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны; через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная ей.

a \parallel b

Подробное объяснение

Прямые, которые никогда не встретятся

Посмотрите на рельсы железной дороги, на линейки в тетради, на верхний и нижний края двери. Сколько ни продолжай эти линии, они не сойдутся. Так выглядят параллельные прямые.

Любые две прямые на плоскости либо пересекаются, либо нет. Если пересекаются — у них одна общая точка. Если не пересекаются — их называют параллельными.

Записывают это знаком $\parallel$ : $CD \parallel KP$ читают «прямая $$CD$$ параллельна прямой $$KP$$ » или «прямые $$CD$$ и $$KP$$ параллельны». Параллельность взаимна: если $CD \parallel KP$ , то и $KP \parallel CD$ .

Параллельные отрезки и лучи

Отрезки и лучи сами по себе короткие, поэтому для них правило такое: отрезки (лучи) параллельны, если лежат на параллельных прямых. Два отрезка могут не пересекаться, но не быть параллельными — например, если продолжить их, получатся пересекающиеся прямые.

Признак: два перпендикуляра

Как убедиться, что прямые параллельны? Ведь мы не можем продолжить их до бесконечности. Помогает перпендикулярность.

Две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Если $a \perp l$ и $b \perp l$ , то $a \parallel b$ .

Слева прямые a и b перпендикулярны прямой l, отмечены прямые углы. Справа построение через точку M. Прямая c перпендикулярна b, прямая a перпендикулярна c, и a параллельна b. — Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны. На этом основано построение параллельной прямой угольником.

Поэтому противоположные стороны любого прямоугольника параллельны: каждая пара образует прямые углы с одной и той же соседней стороной.

Одна-единственная параллельная

Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Попробуйте провести через точку вторую — она обязательно наклонится и где-то пересечёт данную прямую.

Отсюда следствие: если две разные прямые параллельны третьей, они параллельны и между собой.

Четырёхугольники с параллельными сторонами

У параллельности есть свои «герои» среди фигур. Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет, называют трапецией. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, — параллелограмм. Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами.

Как решать задачи

Чтобы проверить, параллельны ли прямые, не полагайтесь на глаз: рисунок показывает только часть прямой.
Приложите чертёжный треугольник прямым углом к одной прямой и проведите перпендикуляр к ней.
Проверьте угольником, перпендикулярен ли этот перпендикуляр второй прямой. Если да — прямые параллельны.
Чтобы провести через точку $$M$$ прямую, параллельную прямой $$b$$ : проведите через $$M$$ прямую $c \perp b$ , затем через $$M$$ — прямую $a \perp c$ . Прямая $$a$$ параллельна $$b$$ .
Можно и короче: приложите угольник одной стороной прямого угла к прямой $$b$$ , к другой его стороне — линейку, и сдвигайте угольник вдоль линейки, пока он не дойдёт до точки $$M$$ .
В задачах на рассуждение опирайтесь на два факта: два перпендикуляра к одной прямой параллельны; через точку проходит только одна прямая, параллельная данной.
Записывайте ответ знаком $\parallel$ и не путайте его со знаком $\perp$ .

Разобранные примеры

База

Какие прямые параллельны

Условие

Прямые $$a$$ , $$b$$ и $$c$$ пересекают прямую $$m$$ . Прямые $$a$$ и $$c$$ образуют с $$m$$ прямые углы, а прямая $$b$$ пересекает $$m$$ под острым углом. Какие из прямых $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ параллельны?

Решение

$a \perp m$ и $c \perp m$ . Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, поэтому $a \parallel c$ .

Прямая $$b$$ не перпендикулярна $$m$$ . Через точку пересечения $$b$$ и $$m$$ уже проходит перпендикуляр к $$m$$ , параллельный $$a$$ , а другой параллельной $$a$$ прямой через эту точку быть не может. Значит, $$b$$ не параллельна ни $$a$$ , ни $$c$$ — где-то она их пересечёт.

Ответ: Параллельны только прямые

\(a\)

и

\(c\)

:

a \parallel c

.

Средний

Провести параллельную прямую

Условие

Начертите прямую $$k$$ и отметьте точку $$N$$ на расстоянии 3 см от неё. Проведите через точку $$N$$ прямую, параллельную $$k$$ , с помощью линейки и чертёжного треугольника.

Решение

Приложите угольник одной стороной прямого угла к прямой $$k$$ так, чтобы другая его сторона прошла через точку $$N$$ . Проведите прямую $$p$$ через $$N$$ ; $p \perp k$ .
Теперь приложите угольник одной стороной прямого угла к прямой $$p$$ , а вершину прямого угла поставьте в точку $$N$$ . Проведите вдоль другой стороны прямую $$n$$ ; $n \perp p$ .
Прямые $$k$$ и $$n$$ перпендикулярны одной прямой $$p$$ , значит, $n \parallel k$ .

Проверка: измерьте расстояние от $$n$$ до $$k$$ в двух-трёх местах по перпендикуляру — везде должно получиться 3 см.

Ответ: Прямая

\(n\)

через точку

\(N\)

,

n \parallel k

; такая прямая единственная.

Сложный

Пары параллельных отрезков

Условие

В прямоугольнике $$ABCD$$ провели отрезок $$MN$$ , перпендикулярный стороне $$AB$$ , с концами на сторонах $$AB$$ и $$CD$$ . Сколько пар параллельных отрезков среди $$AB$$ , $$BC$$ , $$CD$$ , $$DA$$ и $$MN$$ ?

Решение

Стороны $$AD$$ и $$BC$$ перпендикулярны $$AB$$ (углы прямоугольника прямые). Отрезок $$MN$$ тоже перпендикулярен $$AB$$ . Все три лежат на прямых, перпендикулярных прямой $$AB$$ , поэтому любые два из них параллельны: $AD \parallel BC$ , $AD \parallel MN$ , $BC \parallel MN$ — три пары.

Противоположные стороны $$AB$$ и $$CD$$ тоже параллельны — четвёртая пара.

Других пар нет: $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны остальным трём отрезкам.

Ответ: 4 пары.

Типичные ошибки

Считают прямые параллельными, потому что они не пересеклись на рисунке

Почему неверно

Прямая бесконечна, а на листе видна только её часть. Две прямые, которые на рисунке почти не сближаются, могут пересечься в метре от края тетради.

Как правильно

Проверяйте параллельность угольником: проведите перпендикуляр к одной прямой и посмотрите, перпендикулярен ли он второй.

Называют параллельными любые непересекающиеся отрезки

Почему неверно

Отрезки короткие, они могут не пересекаться, даже если лежат на пересекающихся прямых. Например, у буквы «Л» без вершины две палочки не пересекаются, но и не параллельны.

Как правильно

Отрезки параллельны, только если лежат на параллельных прямых. Мысленно продолжите отрезки в обе стороны и проверьте, параллельны ли полученные прямые.

Путают знаки $\parallel$ и $\perp$

Почему неверно

Запись $a \perp b$ означает, что прямые пересекаются под прямым углом, а $a \parallel b$ — что они вообще не пересекаются. Перепутав знак, ученик записывает противоположное.

Как правильно

Запоминайте по виду: две вертикальные чёрточки $\parallel$ идут рядом и не встречаются, как рельсы; знак $\perp$ — это «стойка на полу», прямой угол.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Прямые $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны прямой $$l$$ . Как расположены прямые $$a$$ и $$b$$ ? Запишите ответ с помощью знака.

Подсказка

Вспомните, что говорят о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Решение

Две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Здесь $a \perp l$ и $b \perp l$ , значит, $$a$$ и $$b$$ не пересекаются.

Запись: $a \parallel b$ .

Ответ

Прямые параллельны, a ∥ b

База Задача 2

Начертите прямоугольник $$MNPK$$ . Назовите пары параллельных сторон и запишите их с помощью знака $\parallel$ .

Подсказка

У прямоугольника параллельны противоположные стороны.

Решение

Вершины прямоугольника идут по порядку $$M$$ , $$N$$ , $$P$$ , $$K$$ , поэтому его стороны — $$MN$$ , $$NP$$ , $$PK$$ и $$KM$$ .

Противоположные стороны — $$MN$$ и $$PK$$ , а также $$NP$$ и $$KM$$ . Каждая пара перпендикулярна одной и той же стороне (например, $$MN$$ и $$PK$$ обе перпендикулярны $$NP$$ ), значит, эти стороны параллельны.

Запись: $MN \parallel PK$ , $NP \parallel KM$ .

Ответ

MN ∥ PK, NP ∥ KM

Средний Задача 3

В прямоугольнике $$ABCD$$ сторона $$AB = 20$$ см, сторона $$AD = 30$$ см. Сторону $$AD$$ разделили на 5 равных частей и через точки деления провели внутри прямоугольника отрезки, перпендикулярные $$AD$$ , с концами на $$AD$$ и $$BC$$ . Сколько получилось отрезков, параллельных $$AB$$ , и какова их общая длина?

Подсказка

Каждый такой отрезок отрезает от прямоугольника меньший прямоугольник с той же высотой.

Решение

Дано

$$AB = 20$$ см
$$AD = 30$$ см
$$AD$$ разделена на 5 равных частей

Найти

число отрезков и их общую длину

Пять равных частей разделяют $$5 - 1 = 4$$ точки деления, значит, отрезков 4.
Каждый отрезок перпендикулярен $$AD$$ , и сторона $$AB$$ тоже перпендикулярна $$AD$$ . Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, поэтому все отрезки параллельны $$AB$$ .
Каждый отрезок — сторона меньшего прямоугольника, противоположная $$AB$$ , поэтому его длина тоже 20 см.
$20 \cdot 4 = 80$ (см) — общая длина отрезков.

Ответ

4 отрезка; 80 см

Средний Задача 4

Петя начертил на листе две прямые, которые на листе не пересеклись. Он говорит, что эти прямые параллельны. Обязательно ли он прав?

Подсказка

Прямая не кончается у края листа.

Решение

Нет, не обязательно. Прямая бесконечна, а на листе мы видим только её часть. Две прямые могут сходиться очень медленно и пересечься далеко за краем листа.

Чтобы проверить параллельность, приложите чертёжный треугольник прямым углом к одной из прямых и проведите перпендикуляр. Если он перпендикулярен и второй прямой, прямые параллельны.

Ответ

Нет; прямые могут пересечься за краем листа, проверять нужно угольником

Сложный Задача 5

По линиям клеток тетради провели 4 горизонтальные прямые и 3 вертикальные. Сколько среди них пар параллельных прямых и сколько пар перпендикулярных?

Подсказка

Параллельная пара — две горизонтальные или две вертикальные прямые; перпендикулярная — одна горизонтальная и одна вертикальная.

Решение

Дано

4 горизонтальные и 3 вертикальные прямые

Найти

число пар параллельных и перпендикулярных прямых

Любые две горизонтальные прямые параллельны, любые две вертикальные — тоже (все вертикальные перпендикулярны любой горизонтальной, и наоборот).

Пары из горизонтальных прямых: каждую из 4 прямых можно взять с каждой из 3 остальных, но так каждая пара посчитана дважды: $4 \cdot 3 : 2 = 6$ (пар).
Пары из вертикальных прямых: $3 \cdot 2 : 2 = 3$ (пары).
$$6 + 3 = 9$$ (пар) — параллельных.
$4 \cdot 3 = 12$ (пар) — перпендикулярных: каждую горизонтальную можно взять с каждой вертикальной.

Ответ

9 пар параллельных; 12 пар перпендикулярных

Сложный Задача 6

Прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны прямой $$c$$ и не совпадают друг с другом. Могут ли прямые $$a$$ и $$b$$ пересечься? Объясните.

Подсказка

Предположите, что они пересеклись в точке $$M$$ , и вспомните, сколько прямых, параллельных $$c$$ , проходит через одну точку.

Решение

Предположим, что $$a$$ и $$b$$ пересеклись в некоторой точке $$M$$ . Точка $$M$$ не лежит на прямой $$c$$ : ведь $$a$$ не пересекает $$c$$ .

Тогда через точку $$M$$ проходят две разные прямые $$a$$ и $$b$$ , и обе параллельны $$c$$ . Но через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой. Противоречие.

Значит, $$a$$ и $$b$$ не пересекаются, то есть $a \parallel b$ .

Ответ

Нет; две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Покажите ребёнку рельсы, полоски на тетрадном листе, края стола. Положите на стол две линейки так, чтобы они «смотрели» в одну сторону, и спросите: встретятся ли они, если их бесконечно удлинять? Потом приложите к одной линейке угольник и покажите, что он стоит прямо и ко второй: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие прямые называют параллельными? 2) Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку вне её? 3) Почему противоположные стороны прямоугольника параллельны?

На что обратить внимание. Дети часто определяют параллельность «на глаз» и путают знаки $\parallel$ и $\perp$ . Попросите ребёнка провести параллельную прямую с помощью угольника и линейки и проверить построение.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 42	6.19, 6.20, 6.21, 6.22, 6.23, 6.24, 6.25, 6.26, 6.27, 6.28, 6.29, 6.30, 6.31, 6.32, 6.33, 6.34, 6.35, 6.36, 6.37, 6.38, 6.39, 6.40, 6.41, 6.42, 6.43, 6.44