Задача 1
Через вершины треугольника ABC провести прямые, параллельные противоположным сторонам; вершины нового треугольника A1, B1, C1 (A и A1 по разные стороны от BC, B и B1 — от AC). Сравнить AB и A1B1, AC и A1C1, BC и B1C1.
Решение
Нарисуем треугольник ABC. Треугольником и линейкой проведём через A прямую, параллельную BC, через B — параллельную AC, через C — параллельную AB.
Прямые пересекаются попарно и образуют большой треугольник. Вершина \(A_1\) — точка пересечения прямых через B и C (по другую сторону от BC, чем A), \(B_1\) — прямых через A и C, \(C_1\) — прямых через A и B.
Сторона \(A_1B_1\) проходит через C и параллельна AB, сторона \(A_1C_1\) проходит через B и параллельна AC, сторона \(B_1C_1\) проходит через A и параллельна BC.
Измерим линейкой. Например, при \(AB = 3\) см, \(AC = 4\) см, \(BC = 5\) см получим \(A_1B_1 = 6\) см, \(A_1C_1 = 8\) см, \(B_1C_1 = 10\) см.
Предположение: каждая сторона нового треугольника вдвое длиннее параллельной ей стороны ABC: \(A_1B_1 = 2AB\), \(A_1C_1 = 2AC\), \(B_1C_1 = 2BC\), а точки A, B, C — середины сторон \(B_1C_1\), \(A_1C_1\), \(A_1B_1\).
Ответ
Через каждую вершину проходит прямая, параллельная противоположной стороне, и новый треугольник складывается из четырёх равных треугольников, поэтому его стороны вдвое длиннее.
Подробнее — в теме «Параллельные прямые».