Математика. 6 класс · Виленкин, Жохов, Чесноков · § 6

Упражнение 2.14 к § 6

§ 6. Разложение числа на простые множители · тема: Разложение числа на простые множители

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разложить на простые множители числа 108, 225, 270, 512, 945, 1024.

Решение

Делим каждое число последовательно на простые числа 2, 3, 5, 7, …, пока не получим 1.

$$108 : 2 = 54$$ , $$54 : 2 = 27$$ , $$27 : 3 = 9$$ , $$9 : 3 = 3$$ , $$3 : 3 = 1$$ ; $108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .
$$225 : 3 = 75$$ , $$75 : 3 = 25$$ , $$25 : 5 = 5$$ , $$5 : 5 = 1$$ ; $225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$ .
$$270 : 2 = 135$$ , $$135 : 3 = 45$$ , $$45 : 3 = 15$$ , $$15 : 3 = 5$$ , $$5 : 5 = 1$$ ; $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ .
512 девять раз делится на 2: $512 \to 256 \to 128 \to 64 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ ; $$512 = 2^9$$ .
$$945 : 3 = 315$$ , $$315 : 3 = 105$$ , $$105 : 3 = 35$$ , $$35 : 5 = 7$$ , $$7 : 7 = 1$$ ; $945 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ .
$1024 = 2 \cdot 512$ , поэтому $1024 = 2^{10}$ .

Ответ

108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

;

225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

;

270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

;

\(512 = 2^9\)

;

945 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

;

1024 = 2^{10}

Почему так

Число делят последовательно на простые делители, подсказанные признаками делимости, пока частное не станет равным 1.

Подробнее — в теме «Разложение числа на простые множители».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Разложить на простые множители числа 90, 180, 270, 350, 450, 1350, 4500.

Решение

Делим каждое число последовательно на простые числа, пока не получим 1.

$$90 : 2 = 45$$ , $$45 : 3 = 15$$ , $$15 : 3 = 5$$ , $$5 : 5 = 1$$ ; $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ .
$180 = 2 \cdot 90$ , поэтому $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ .
$$270 : 2 = 135$$ , $$135 : 3 = 45$$ , $$45 : 3 = 15$$ , $$15 : 3 = 5$$ ; $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ .
$$350 : 2 = 175$$ , $$175 : 5 = 35$$ , $$35 : 5 = 7$$ , $$7 : 7 = 1$$ ; $350 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ .
$450 = 5 \cdot 90$ , поэтому $450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$ .
$1350 = 3 \cdot 450$ , поэтому $1350 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$ .
$4500 = 10 \cdot 450 = 2 \cdot 5 \cdot 450$ , поэтому $4500 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ .

Ответ

90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

;

180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

;

270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

;

350 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7

;

450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

;

1350 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

;

4500 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

Почему так

Если число равно произведению уже разложенного числа на простое, его разложение получается добавлением этого простого множителя.

Подробнее — в теме «Разложение числа на простые множители».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Разложить на простые множители числа 13, 2002, 1225, 14 014, 90 720.

Решение

13 — простое число, его разложение состоит из одного множителя: $$13 = 13$$ .
$$2002 : 2 = 1001$$ , а $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ (см. № 2.12); $2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ .
$$1225 : 5 = 245$$ , $$245 : 5 = 49$$ , $$49 : 7 = 7$$ , $$7 : 7 = 1$$ ; $1225 = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$ .
$14\,014 = 7 \cdot 2002$ , поэтому $14\,014 = 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ .
$90\,720 : 2 = 45\,360$ , $45\,360 : 2 = 22\,680$ , $22\,680 : 2 = 11\,340$ , $11\,340 : 2 = 5670$ , $$5670 : 2 = 2835$$ ; $$2835 : 3 = 945$$ , а $945 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ (см. пункт а). Получаем $90\,720 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$ .

Ответ

\(13 = 13\)

(простое);

2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13

;

1225 = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7

;

14\,014 = 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13

;

90\,720 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7

Почему так

Число делят последовательно на простые делители, а уже известные разложения (1001, 945) используют повторно.

Подробнее — в теме «Разложение числа на простые множители».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки