Каким является число 1?

Ни простым, ни составным

И простым, и составным

Разложение числа на простые множители

Коротко о главном

Простое число имеет ровно два делителя — 1 и само себя, составное — больше двух. Любое составное число можно записать как произведение простых множителей, и такое разложение единственное — с точностью до порядка множителей.

120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

Подробное объяснение

Из каких «кирпичиков» состоит число

Из 12 одинаковых кубиков можно сложить прямоугольник по-разному: 2 ряда по 6, 3 ряда по 4. А из 7 кубиков прямоугольник не получится — только одна длинная полоска. Число 7 не раскладывается на меньшие множители, а 12 раскладывается: $12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$ .

Простые и составные числа

Натуральное число называют простым, если у него только два делителя: единица и само это число. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 — первые десять простых чисел.

Число, у которого больше двух делителей, называют составным: у 12 делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Число 1 стоит особняком: у него один делитель, поэтому оно ни простое, ни составное.

Число 2 — наименьшее простое число и единственное чётное простое. Любое другое чётное число делится на 2, а значит, составное.

Разложение на простые множители

Если составное число записать как произведение, а составные множители снова разложить, в конце останутся одни простые множители:

120 = 12 \cdot 10 = 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5.

Запись числа в виде произведения простых чисел называют разложением числа на простые множители. Обычно множители пишут по возрастанию: $120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Удобно рисовать «дерево»: под составным числом пишем два его множителя, под ними — их множители, пока внизу не окажутся только простые числа. Начинать можно по-разному, а простые множители в конце получаются одни и те же.

Два дерева для числа 120. Слева 120 = 12 · 10, 12 = 3 · 4, 4 = 2 · 2, 10 = 2 · 5. Справа 120 = 8 · 15, 8 = 2 · 4, 4 = 2 · 2, 15 = 3 · 5. Внизу оба раза 2 · 2 · 2 · 3 · 5. — Начинать разложение можно по-разному, но простые множители в конце получаются одни и те же.

Это важное свойство: любое составное число раскладывается на простые множители, и разложения могут отличаться только порядком множителей. Поэтому, как бы вы ни начали, проверить ответ легко — перемножить множители.

Повторяющиеся множители можно записать степенью: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ .

Разложение столбиком

Чаще всего число раскладывают с помощью вертикальной черты. Слева пишут число, справа — его наименьший простой делитель, под числом — частное. Так продолжают, пока слева не появится 1. Подсказывают признаки делимости: на 2 делится число с чётной последней цифрой, на 5 — оканчивающееся на 0 или 5, на 3 — если на 3 делится сумма цифр.

\begin{array}{r|l} 120 & 2 \\ 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

Справа от черты стоят простые множители: $120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ . Единица внизу слева означает только, что разложение закончено, в ответ она не входит.

Как узнать, простое ли число

Делите его по очереди на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, … Если найдётся делитель — число составное. Если ни одно не подошло, а квадрат очередного простого уже больше самого числа, — число простое. Для 97: на 2, 3, 5, 7 не делится, а $11 \cdot 11 = 121 > 97$ , значит, 97 простое. Можно свериться и с таблицей простых чисел на обложке учебника.

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпримера — примера, где оно неверно. «Все нечётные числа простые» опровергает число $9 = 3 \cdot 3$ .

Как решать задачи

Проверьте, не простое ли число само. Если простое — раскладывать нечего.
Проведите вертикальную черту, слева запишите число.
Найдите наименьший простой делитель (2, 3, 5, 7, 11…), используя признаки делимости. Запишите его справа, частное — под числом.
Повторяйте шаг 3 с частным, пока слева не получится 1.
Выпишите числа справа от черты через знак умножения по возрастанию.
Проверьте: перемножьте множители — должно получиться исходное число, и каждый множитель должен быть простым.

Разобранные примеры

База

Разложение столбиком

Условие

Разложите на простые множители число 180.

Решение

\begin{array}{r|l} 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

180 и 90 чётные — делим на 2. У 45 сумма цифр 9 — делим на 3. У 15 сумма цифр 6 — снова на 3. Остаётся простое число 5.

Проверка: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180$ .

Ответ:

180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

.

Средний

Когда признаки делимости не помогают

Условие

Разложите на простые множители число 1001.

Решение

1001 нечётное — на 2 не делится. Сумма цифр 2 — на 3 не делится. Оканчивается на 1 — на 5 не делится.

Пробуем 7: $$1001 : 7 = 143$$ . Число 143 на 7 не делится, пробуем 11: $$143 : 11 = 13$$ . Число 13 простое.

Проверка: $7 \cdot 11 \cdot 13 = 77 \cdot 13 = 1001$ .

Ответ:

1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13

.

Сложный

Делимость по разложению

Условие

Число $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ . Делится ли $$n$$ на 12? А на 9?

Решение

Разложим делители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ , $9 = 3 \cdot 3$ .

В разложении $$n$$ есть две двойки и тройка — все множители числа 12. Значит, $$n$$ делится на 12, а частное равно произведению оставшихся множителей: $5 \cdot 7 = 35$ .

Для 9 нужны две тройки, а в разложении $$n$$ тройка одна. Значит, на 9 число $$n$$ не делится. Проверка: $$n = 420$$ , $$420 : 12 = 35$$ , а $$4 + 2 + 0 = 6$$ на 9 не делится.

Ответ: На 12 делится (частное 35), на 9 не делится.

Типичные ошибки

Оставляют в разложении составной множитель

Почему неверно

Ученик пишет $72 = 2 \cdot 4 \cdot 9$ и считает разложение законченным. Произведение верное, но 4 и 9 — составные числа, это ещё не разложение на простые множители.

Как правильно

Раскладывайте, пока не останутся только простые числа: $4 = 2 \cdot 2$ , $9 = 3 \cdot 3$ , значит, $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ . В конце проверьте каждый множитель: простой ли он.

Записывают 1 в число множителей

Почему неверно

В столбике последним слева стоит 1, и ученик дописывает её в ответ: $30 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ . Или называет 1 простым числом. Но у 1 только один делитель, оно не простое — и в разложении на простые множители его нет.

Как правильно

Единица внизу столбика — сигнал «разложение закончено». В ответ берите только числа справа от черты: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Считают каждое нечётное число простым

Почему неверно

Числа 51, 57, 91 «выглядят» простыми: они нечётные и не оканчиваются на 5. Но $51 = 3 \cdot 17$ , $57 = 3 \cdot 19$ , $91 = 7 \cdot 13$ .

Как правильно

Нечётность значит только, что число не делится на 2. Проверьте делимость на 3 (по сумме цифр), на 7, 11, 13 — пока квадрат делителя не станет больше числа, или посмотрите таблицу простых чисел.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Разложите на простые множители число 84.

Подсказка

Делите по очереди на 2, 3, 5, 7…, пока в частном не получится 1.

Решение

Число 84 чётное: $$84 : 2 = 42$$ .

Число 42 чётное: $$42 : 2 = 21$$ .

Сумма цифр числа 21 равна 3, оно делится на 3: $$21 : 3 = 7$$ .

Число 7 простое: $$7 : 7 = 1$$ .

Значит, $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$ .

Ответ

84 = 2 · 2 · 3 · 7

База Задача 2

Какие из чисел 51, 53, 57, 59 простые, а какие составные?

Подсказка

Проверьте делимость на 3 по сумме цифр, а затем на 7.

Решение

У числа 51 сумма цифр 6 — оно делится на 3: $51 = 3 \cdot 17$ , составное.

У числа 57 сумма цифр 12 — оно делится на 3: $57 = 3 \cdot 19$ , составное.

Числа 53 и 59 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7 (а $11 \cdot 11 = 121$ уже больше 59, так что дальше проверять не нужно). Они простые — это подтверждает и таблица простых чисел.

Ответ

Простые 53 и 59; составные 51 и 57

Средний Задача 3

Разложите на простые множители число 1260.

Подсказка

Число оканчивается нулём — начните с деления на 2 и на 5.

Решение

$$1260 : 2 = 630$$ , $$630 : 2 = 315$$ — делили на 2, пока число было чётным.

Сумма цифр 315 равна 9: $$315 : 3 = 105$$ , $$105 : 3 = 35$$ .

$$35 : 5 = 7$$ , $$7 : 7 = 1$$ .

Значит, $1260 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ .

Ответ

1260 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7

Средний Задача 4

Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$ и $m = 2 \cdot 7 \cdot 7$ . Не вычисляя $$n$$ и $$m$$ , найдите частное $$n : m$$ .

Подсказка

Все множители $$m$$ есть в разложении $$n$$ . Вычеркните их.

Решение

Каждый множитель числа $$m$$ найдётся в разложении $$n$$ : одна двойка и две семёрки. Вычеркнем их из $$n$$ , останутся множители $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Значит, $n : m = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ .

Проверка: $$n = 2940$$ , $$m = 98$$ , $98 \cdot 30 = 2940$ .

Ответ

30

Сложный Задача 5

Произведение возрастов трёх братьев равно 105 годам, и каждому больше года. Сколько лет каждому брату?

Подсказка

Разложите 105 на простые множители.

Решение

Дано

произведение трёх возрастов 105
каждый возраст больше 1

Найти

возрасты

$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ — разложение на простые множители: в нём ровно три множителя.
Если бы один из возрастов был составным числом, в нём «сидели» бы два простых множителя, и на два других возраста остался бы только один простой множитель — а каждый возраст больше 1. Значит, все три возраста — простые числа 3, 5 и 7.

Проверка: $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ .

Ответ

3 года, 5 лет и 7 лет

Сложный Задача 6

Объясните, почему число $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 = 211$ не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7.

Подсказка

Число $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ делится на каждое из этих чисел. Какой остаток даёт 211?

Решение

Число $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ делится на 2, на 3, на 5 и на 7. Следующее число, которое делится на 2, — это $$210 + 2$$ , на 3 — $$210 + 3$$ , на 5 — $$210 + 5$$ , на 7 — $$210 + 7$$ . Число 211 больше 210 только на 1, поэтому при делении на каждое из чисел 2, 3, 5, 7 оно даёт остаток 1.

Значит, 211 ни на одно из них не делится. На 11 и 13 оно тоже не делится, а $17 \cdot 17 = 289 > 211$ — значит, 211 простое.

Ответ

211 на 1 больше числа 210, которое делится на 2, 3, 5 и 7, поэтому при делении на каждое из них остаток равен 1

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите 12 или 24 монеты либо кубика и попросите ребёнка выложить из них прямоугольник разными способами — так находятся множители. Потом дайте 7 или 13 предметов: прямоугольник шириной больше одного ряда не выходит, это простые числа. Затем нарисуйте вместе «дерево» для 60 и спросите, получится ли то же самое, если начать с $60 = 6 \cdot 10$ , а не с $60 = 2 \cdot 30$ .

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему 1 не простое и не составное число? 2) Разложите 90 на простые множители двумя способами — совпали ли множители? 3) Почему $2 \cdot 4 \cdot 5$ — это не разложение числа 40 на простые множители?

На что обратить внимание. Пусть ребёнок всегда проверяет ответ умножением и смотрит, не остался ли составной множитель. Полезно знать наизусть простые числа до 30 и признаки делимости на 2, 3, 5 — без них раскладывать долго.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 6	2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23, 2.24, 2.25, 2.26, 2.27, 2.28, 2.29, 2.30, 2.31, 2.32, 2.33, 2.34, 2.35, 2.36, 2.37, 2.38, 2.39, 2.40, 2.41, 2.42, 2.43, 2.44, 2.45, 2.46, 2.47, 2.48, 2.49, 2.50, 2.51, 2.52, 2.53, 2.54, 2.55, 2.56