Задача 1
Написать все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух или трёх одинаковых множителей. Как называют эти числа?
Решение
Два одинаковых простых множителя дают число \(p \cdot p\). Подходят двузначные: \(5 \cdot 5 = 25\), \(7 \cdot 7 = 49\). Число \(3 \cdot 3 = 9\) — однозначное, а \(11 \cdot 11 = 121\) — уже трёхзначное.
Три одинаковых простых множителя дают число \(p \cdot p \cdot p\). Подходит только \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\), так как \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) — однозначное, \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\) — трёхзначное.
Произведение двух одинаковых множителей — квадрат числа, трёх одинаковых — куб числа: \(25 = 5^2\), \(49 = 7^2\), \(27 = 3^3\).
Ответ
Число из двух одинаковых простых множителей — квадрат простого числа, из трёх — его куб.
Подробнее — в теме «Разложение числа на простые множители».