Задача 1
(Устно.) На луче A = p − 1, B = p + 1, C = 2p, D = 3p (рис. 2.1). Есть ли среди них точки с простыми координатами, если p — простое?
Решение
По рисунку координаты точек: \(A(p - 1)\), \(B(p + 1)\), \(C(2p)\), \(D(3p)\).
Числа \(2p\) и \(3p\) делятся на \(p\) и на 2 (на 3), то есть имеют больше двух делителей, — они всегда составные. Значит, координаты точек \(C\) и \(D\) простыми не бывают.
Если \(p\) — нечётное простое число больше 3, то \(p - 1\) и \(p + 1\) — чётные числа больше 2, они составные.
Остаются особые случаи. При \(p = 2\): \(A(1)\), \(B(3)\) — координата точки \(B\) простое число 3. При \(p = 3\): \(A(2)\), \(B(4)\) — координата точки \(A\) простое число 2.
Ответ
Числа 2p и 3p составные, а соседи нечётного простого числа чётные, поэтому простыми они бывают лишь при p = 2 или p = 3.
Подробнее — в теме «Разложение числа на простые множители».