Математика. 6 класс · Виленкин, Жохов, Чесноков · § 6

Упражнение 2.45 к § 6

§ 6. Разложение числа на простые множители · тема: Разложение числа на простые множители

Задача 1

Условие (кратко)

а) Куб: K и L — концы переднего нижнего ребра, M — вершина задней грани, противоположная K на левой грани (рис. 2.2). Найти кратчайший путь по поверхности куба из K в L через M.

Решение

Путь состоит из двух частей: от $$K$$ до $$M$$ и от $$M$$ до $$L$$ . Каждую часть делаем кратчайшей.

$$K$$ и $$M$$ — противоположные вершины левой грани. Кратчайший путь между ними — диагональ этой грани $$KM$$ .
$$M$$ и $$L$$ — противоположные вершины куба, общей грани у них нет. Развернём две соседние грани, например верхнюю и переднюю, в один прямоугольник: он состоит из двух квадратов, а $$M$$ и $$L$$ — его противоположные углы. Кратчайший путь на развёртке — отрезок, это диагональ прямоугольника. Она проходит через середину общего ребра этих граней — верхнего переднего ребра куба (ребра над $$KL$$ ).

Значит, кратчайший путь: от $$K$$ по диагонали левой грани до $$M$$ , затем по верхней грани прямо к середине ребра над $$KL$$ и по передней грани прямо к $$L$$ . Ту же длину дают и другие пары граней, например левая и нижняя: тогда путь из $$M$$ идёт к середине ребра, выходящего из $$K$$ назад.

Ответ

Диагональ левой грани KM, затем отрезок от M к середине верхнего переднего ребра и от неё к L

Почему так

Кратчайший путь по поверхности куба — отрезок на развёртке граней, по которым он проходит.

Задача 2

Условие (кратко)

б) Куб: K и L — концы переднего нижнего ребра (рис. 2.2). Найти кратчайший путь по поверхности из K в L, пересекающий все горизонтальные рёбра (параллельные KL), кроме KL.

Решение

Рёбер, параллельных $$KL$$ , кроме него самого, три: верхнее переднее, верхнее заднее и нижнее заднее. Чтобы пересечь их все, путь должен обойти куб «кольцом»: передняя грань → верхняя → задняя → нижняя и вернуться к ребру $$KL$$ в точке $$L$$ .

Развернём эти четыре грани в полосу из четырёх квадратов, поставленных друг на друга. Ребро $$KL$$ окажется дважды: внизу полосы (там точка $$K$$ ) и вверху (там точка $$L$$ ). Кратчайший путь — отрезок от $$K$$ внизу слева до $$L$$ вверху справа.

Пусть ребро куба разделено на 4 равные части. Отрезок поднимается на 4 стороны квадрата и сдвигается вправо на 1 сторону, поэтому на каждом ребре он сдвигается на четверть ребра. Он пересекает верхнее переднее ребро на расстоянии $\dfrac{1}{4}$ ребра от левого края, верхнее заднее — посередине, нижнее заднее — на расстоянии $\dfrac{3}{4}$ ребра от левого края.

Такой же по длине путь получится, если обходить кольцо в обратную сторону: нижняя грань → задняя → верхняя → передняя.

Ответ

Прямая на развёртке «передняя → верхняя → задняя → нижняя грань»; рёбра пересекаются на 1/4, 1/2 и 3/4 длины от левого края

Почему так

Путь пересекает нужные рёбра, только если обходит куб кольцом из четырёх граней, а кратчайший путь на развёртке этого кольца — отрезок.

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки