Задача 1
(Задание для работы в группе.) Дроби \(\dfrac{n}{20}\) и \(\dfrac{c}{30}\) (\(n\), \(c\) — натуральные) можно записать десятичными. Могут ли числитель и знаменатель каждой из них быть взаимно простыми?
Решение
- \(\dfrac{n}{20}\) и \(\dfrac{c}{30}\) записываются десятичными дробями
- могут ли \(n\) и 20
- \(c\) и 30 быть взаимно простыми
Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000, … Такие числа раскладываются только на множители 2 и 5.
-
\(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\) — делитель числа 100, поэтому любую дробь \(\dfrac{n}{20}\) можно записать десятичной: \(\dfrac{n}{20} = \dfrac{5n}{100}\). Числитель может быть взаимно простым с 20, например \(\dfrac{3}{20} = \dfrac{15}{100} = 0{,}15\), а НОД \((3, 20) = 1\).
-
\(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Числа 10, 100, 1000, … на 3 не делятся, поэтому дробь со знаменателем 30 к ним не привести. Записать \(\dfrac{c}{30}\) десятичной можно, только если её удаётся сократить на 3, то есть если \(c\) делится на 3 (например, \(\dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\)). Но тогда у \(c\) и 30 есть общий делитель 3, и они не взаимно простые.
Ответ
Дробь записывается десятичной, если после сокращения в разложении знаменателя остаются только множители 2 и 5, а множитель 3 из 30 убирается только сокращением.
Подробнее — в теме «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа».