Что называют наибольшим общим делителем нескольких чисел?

Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из них

Наименьшее число, которое делится на каждое из них

Произведение всех простых множителей этих чисел

Наибольшее из данных чисел

НОД и взаимно простые числа — 6 класс, математика

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Разложение числа на простые множители

Коротко о главном

Наибольший общий делитель (НОД) нескольких натуральных чисел — наибольшее натуральное число, на которое все они делятся без остатка. Чтобы его найти, числа раскладывают на простые множители и перемножают общие множители. Если НОД двух чисел равен 1, числа называют взаимно простыми.

\text{НОД}\,(18,\ 24) = 2 \cdot 3 = 6

Подробное объяснение

Поровну и без остатка

У Маши 12 мандаринов и 18 конфет. Она хочет разложить их в одинаковые пакеты так, чтобы ничего не осталось. Сколько пакетов можно собрать? Число пакетов должно делить и 12, и 18. Подходят 1, 2, 3 и 6 пакетов, а 4 — нет: 18 конфет на 4 пакета поровну не разложить. Больше всего пакетов — 6, по 2 мандарина и 3 конфеты в каждом.

Число, на которое делится каждое из данных чисел, называют их общим делителем. Самый большой из общих делителей — наибольший общий делитель, коротко НОД. Пишут так: НОД (12, 18) = 6.

Способ 1: выписать делители

Для небольших чисел можно выписать все делители каждого числа и найти наибольший общий.

Делители 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Общие: 1, 2, 5, 10. Значит, НОД (20, 30) = 10.

Способ понятный, но для больших чисел долгий: легко пропустить делитель.

Способ 2: через разложение на простые множители

Каждое составное число раскладывается на простые множители. Любой общий делитель двух чисел составлен из множителей, которые есть в обоих разложениях. А самый большой получится, если взять все общие множители.

Разложения 60 = 2 · 2 · 3 · 5 и 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 одно под другим. Пунктиром соединены общие множители 2, 2 и 3; их произведение 12 — НОД чисел 60 и 72. — Из каждого разложения берут только общие множители, каждую пару — один раз; их произведение и есть НОД.

Например, $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ и $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ . Двойка входит в оба разложения дважды, тройка — один раз (в разложение 60 больше одной тройки не входит), пятёрки у 72 нет. Значит, НОД (60, 72) $= 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .

Для трёх и более чисел — так же: берут множители, которые есть во всех разложениях.

Удобный частный случай

Если все данные числа делятся на одно из них, это число и есть НОД. Например, 15 и 45 делятся на 15, поэтому НОД (15, 45, 60) = 15. Больше 15 общий делитель быть не может: на число больше 15 само 15 не делится.

Взаимно простые числа

Бывает, что общий делитель у чисел только один — единица. Например, $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ и $15 = 3 \cdot 5$ : общих простых множителей нет, НОД (8, 15) = 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Обратите внимание: сами числа 8 и 15 составные. Взаимно простыми бывают и составные числа — важно только, что у них нет общих простых множителей. Два разных простых числа всегда взаимно простые, а два соседних натуральных числа — тоже.

Как решать задачи

Если числа небольшие, можно выписать делители каждого и выбрать наибольший общий.
Проверьте, не делятся ли все числа на меньшее из них. Если делятся, НОД — это меньшее число.
Иначе разложите каждое число на простые множители.
Подчеркните множители, которые входят во все разложения. Если множитель повторяется в каждом разложении несколько раз, подчеркните его столько раз, сколько он встречается там, где его меньше.
Перемножьте подчёркнутые множители — это НОД. Если общих множителей нет, НОД равен 1, а числа взаимно простые.
Проверьте: каждое число должно делиться на НОД, а частные не должны иметь общего делителя, кроме 1.
В текстовой задаче ищите слова «наибольшее число групп (наборов, рядов)», «поровну», «без остатка» — это задача на НОД.

Разобранные примеры

База

НОД перебором делителей

Условие

Найдите наибольший общий делитель чисел 30 и 45, выписав их делители.

Решение

Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Делители 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Общие делители: 1, 3, 5, 15. Наибольший из них — 15.

Ответ: НОД (30, 45) = 15.

Средний

НОД трёх чисел через разложение

Условие

Найдите НОД (120, 168, 252).

Решение

Разложим числа на простые множители:

$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ ,

$168 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$ ,

$252 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$ .

Во всех трёх разложениях есть две двойки (в 252 их только две) и одна тройка. Пятёрка есть только у 120, семёрки нет у 120.

НОД (120, 168, 252) $= 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .

Проверка: $$120 : 12 = 10$$ , $$168 : 12 = 14$$ , $$252 : 12 = 21$$ . Числа 10, 14 и 21 не делятся все на одно число, кроме 1.

Ответ: 12.

Сложный

Одинаковые букеты

Условие

В цветочном магазине 42 красные, 70 белых и 56 розовых роз. Из всех роз хотят составить одинаковые букеты. Какое наибольшее число букетов получится и сколько роз каждого цвета будет в букете?

Дано

42 красные
70 белых
56 розовых роз
букеты одинаковые

Найти

наибольшее число букетов и состав букета

Решение

Число букетов делит 42, 70 и 56, а нужно наибольшее — это НОД (42, 70, 56).

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ , $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$ , $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$ .

НОД $= 2 \cdot 7 = 14$ (букетов).

$$42 : 14 = 3$$ (красные розы) — в одном букете.
$$70 : 14 = 5$$ (белых роз) — в одном букете.
$$56 : 14 = 4$$ (розовые розы) — в одном букете.

Ответ: 14 букетов, в каждом 3 красные, 5 белых и 4 розовые розы.

Типичные ошибки

Берут повторяющийся общий множитель только один раз

Почему неверно

$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ , $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ . Ученик видит, что общие множители — «двойка и тройка», и пишет НОД = 6. Но 60 и 72 делятся и на 12, значит, 6 — не наибольший общий делитель.

Как правильно

Сравнивайте множители парами. Двойка входит в разложение 60 дважды, в разложение 72 — трижды; в НОД берут две двойки. НОД (60, 72) $= 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .

Перемножают все множители из обоих разложений

Почему неверно

Для 18 и 24 ученик берёт в ответ и общие, и «лишние» множители: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72$ . Получилось число больше 18. Но делитель числа не может быть больше самого числа: НОД не больше меньшего из чисел.

Как правильно

В НОД идут только множители, которые есть в каждом разложении. $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ , $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ , НОД $= 2 \cdot 3 = 6$ .

Считают, что взаимно простыми бывают только простые числа

Почему неверно

Ученик говорит, что 9 и 16 не взаимно простые, «потому что они составные». Но взаимная простота — свойство пары чисел, а не каждого числа отдельно.

Как правильно

Найдите НОД: $9 = 3 \cdot 3$ , $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ , общих множителей нет, НОД (9, 16) = 1. Значит, 9 и 16 взаимно простые.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выпишите все делители чисел 16 и 28 и найдите их наибольший общий делитель.

Подсказка

Выпишите делители каждого числа по порядку, начиная с 1, и отметьте те, что есть в обоих списках.

Решение

Делители 16: 1, 2, 4, 8, 16.

Делители 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Общие делители: 1, 2, 4. Наибольший из них — 4.

Проверка разложением: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ , $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$ , общие множители $2 \cdot 2 = 4$ .

Ответ

НОД (16, 28) = 4

База Задача 2

Разложите числа 45 и 75 на простые множители и найдите НОД (45, 75).

Подсказка

Подчеркните множители, которые есть в обоих разложениях.

Решение

$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$ , $75 = 3 \cdot 5 \cdot 5$ .

Общие множители — одна тройка и одна пятёрка.

НОД (45, 75) $= 3 \cdot 5 = 15$ .

Ответ

15

Средний Задача 3

Найдите наибольший общий делитель чисел 84, 126 и 210.

Подсказка

Множитель берут в НОД, только если он есть во всех трёх разложениях.

Решение

$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$ ,

$126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$ ,

$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ .

Во всех трёх разложениях есть по одной двойке, тройке и семёрке.

НОД (84, 126, 210) $= 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ .

Проверка: $$84 : 42 = 2$$ , $$126 : 42 = 3$$ , $$210 : 42 = 5$$ — числа 2, 3, 5 не имеют общих делителей, кроме 1, значит, больший общий делитель не найти.

Ответ

42

Средний Задача 4

Из 48 яблок и 60 груш составили одинаковые подарочные наборы, использовав все фрукты. Какое наибольшее число наборов можно составить? Сколько яблок и сколько груш будет в каждом наборе?

Подсказка

Число наборов должно быть делителем и 48, и 60.

Решение

Дано

48 яблок
60 груш
наборы одинаковые

Найти

наибольшее число наборов и состав набора

Число наборов делит и 48, и 60, а нужно наибольшее такое число — это НОД (48, 60).

$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ , $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ .

НОД (48, 60) $= 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ (наборов).

$$48 : 12 = 4$$ (яблока) — в одном наборе.
$$60 : 12 = 5$$ (груш) — в одном наборе.

Ответ

12 наборов; в каждом 4 яблока и 5 груш

Сложный Задача 5

Пол комнаты — прямоугольник 360 см на 456 см. Его хотят выложить одинаковыми квадратными плитками, не разрезая их. Какой наибольшей может быть сторона плитки (в целых сантиметрах) и сколько таких плиток понадобится?

Подсказка

Сторона плитки должна укладываться целое число раз и в 360 см, и в 456 см.

Решение

Дано

пол 360 см на 456 см
плитки квадратные
без резки

Найти

наибольшую сторону плитки и число плиток

Сторона плитки — общий делитель 360 и 456, наибольшая — НОД (360, 456).

$360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ , $456 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 19$ .

НОД (360, 456) $= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ (см).

$$360 : 24 = 15$$ (плиток) — в одном ряду вдоль короткой стороны.
$$456 : 24 = 19$$ (рядов) — вдоль длинной стороны.
$15 \cdot 19 = 285$ (плиток) — всего.

Ответ

Сторона 24 см; 285 плиток

Сложный Задача 6

Объясните, почему два соседних натуральных числа (например, 35 и 36 или 999 и 1000) всегда взаимно простые.

Подсказка

Числа, которые делятся на 2, идут через одно; числа, которые делятся на 3, — через два. Могут ли два соседних числа оба делиться на одно и то же число, большее 1?

Решение

Пусть два соседних числа делятся на одно и то же число $$d$$ , большее 1.

Числа, кратные $$d$$ , в натуральном ряду идут с шагом $$d$$ : $$d$$ , $$2d$$ , $$3d$$ , … Между соседними кратными расстояние равно $$d$$ , а $$d$$ не меньше 2.

Соседние же числа отличаются на 1. Значит, оба они не могут быть кратны $$d$$ .

Поэтому единственный общий делитель соседних чисел — 1, и они взаимно простые. Например, $35 = 5 \cdot 7$ и $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ — общих простых множителей нет.

Ответ

Кратные одного числа, большего 1, отстоят друг от друга хотя бы на 2, поэтому соседние числа имеют общий делитель только 1

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите, например, 12 печенек и 8 конфет и предложите разложить их по тарелкам поровну, чтобы ничего не осталось. Пусть ребёнок пробует 2, 3, 4 тарелки и найдёт самое большое число тарелок — 4. Это и есть НОД (12, 8). Потом покажите быстрый путь: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ , $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ , общие множители — две двойки, их произведение 4.

Вопросы для проверки понимания: 1) Может ли НОД двух чисел быть больше меньшего из них? 2) Чему равен НОД (7, 35) и почему его можно найти без разложения? 3) Являются ли взаимно простыми числа 10 и 21?

На что обратить внимание. Проверьте, что ребёнок уверенно раскладывает числа на простые множители: без этого второй способ не работает. Самая частая ошибка — потерять повторяющийся общий множитель. Приучайте к проверке: все числа должны делиться на найденный НОД.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 7	2.57, 2.58, 2.59, 2.60, 2.61, 2.62, 2.63, 2.64, 2.65, 2.66, 2.67, 2.68, 2.69, 2.70, 2.71, 2.72, 2.73, 2.74, 2.75, 2.76, 2.77, 2.78, 2.79, 2.80, 2.81, 2.82, 2.83, 2.84, 2.85, 2.86, 2.87, 2.88, 2.89, 2.90, 2.91, 2.92, 2.93, 2.94